Классы
Предметы

Второй и третий признаки равенства треугольников

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Второй и третий признаки равенства треугольников

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Второй и третий признаки равенства треугольников». В ходе этого занятия все желающие смогут познакомиться со свойствами треугольника. Учитель поможет вам сформулировать и доказать второй и третий признаки равенства треугольников.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты»

Повторение понятия «равные треугольники», первого признака равенства треугольников

Для начала вспомним из материалов предыдущих уроков, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке указаны два равных отрезка и два равных угла.

              

Рис. 1. Углы А и А1 равны, АВ = CD

Доказательство признаков равенства треугольников

Рассмотрим теперь равенство треугольников. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. В таком случае совместятся все стороны и углы треугольников.

 

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А1В1С1

         

Теперь мы готовы сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .      

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А1, , отрезки АС и А1С1 совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадет с .

Теорема доказана.

Рис. 3. Равные треугольники АВС и А1В1С1

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате

данного действия имеем три случая:

1. Луч СС1 внутри .

Рис. 4. Равные треугольники АВС и А1В1С1

В таком случае по первому признаку.

1. Луч СС1 совпадает с одной из сторон .

2. Луч СС1 лежит вне угла .

 

Рис. 5. Равные треугольники АВС и А1В1С1. Случаи 2, 3

Случаи 2 и 3 предлагаем рассмотреть самостоятельно.

Теорема доказана.

 

 
 

 

  

Рис. 6. Третий признак равенства треугольников

Решение задач

Рассмотрим некоторые задачи, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1: Известно, что . Найти стороны АВ и ВС.

Решение: Выполним пояснительный рисунок к задаче.

Рис. 7. Чертеж к примеру 1

Поскольку , то треугольники АВС и ADC равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что .

Ответ: 11 см, 19 см.

Пример 2: В изображенных треугольниках  , , и медианы ВМ и ВМ1 тоже равны. Доказать равенство треугольников: .

Рис. 8

Доказательство:                                                    

Вследствие того, что М и М1 – середины равных отрезков, то А1М1 = АМ. , ВМ = ВМ1  (по условию). Следовательно,  по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов .

,  (по условию),  (по доказанному). Следовательно,  по первому признаку.

Что и требовалось доказать.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

  1. Математика (Источник).
  2. School.xvatit.com (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 37. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2. На рисунке РC = QR, CR = QP. Докажите, что ∠CQP = ∠QCR.

3. На рисунке задачи № 2 CP = RQ, CR = PQ. Докажите, что CO = OQ, PO = OR.

4. Докажите перпендикулярность прямых СQ и BА, если AC = BC, а OA = OB.