Классы
Предметы

Прямоугольник

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Прямоугольник

На данном уроке мы будем рассматривать частный случай параллелограмма – прямоугольник. Мы введем его основные свойства, докажем теорему о равенстве диагоналей прямоугольника и сформулируем признак прямоугольника. Затем решим достаточно много задач, которые связаны с этой фигурой.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Тема: Четырехугольники

Урок: Прямоугольник

1. Определение и свойство прямоугольника

Введем определение прямоугольника.

Определение. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольник

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема 1. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Изобразим на Рис. 2 прямоугольник (как и у параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны). Все углы прямые. Необходимо доказать, что диагонали .

Рис. 2

Рассмотрим для доказательства прямоугольные треугольники, в которых присутствуют указанные диагонали  и :

 прямоугольные треугольники  по двум катетам. Следовательно, равны и гипотенузы треугольников , что и требовалось доказать.

Доказано.

Обратим внимание, что это свойство специфическое и относится только к прямоугольнику, ко всем остальным параллелограммам оно не относится.

2. Признак прямоугольника

Теорема 2. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство. Изобразим Рис. 3. Нам необходимо доказать, что изображенный параллелограмм с двумя равными диагоналями – прямоугольник, т.е. имеет прямой угол.

Рис. 3

Поскольку  – параллелограмм, то можем воспользоваться его свойством: . Кроме этого,  – по трем сторонам (), следовательно, . Тогда имеем:

 прямоугольник, что и требовалось доказать.

Доказано.

3. Разные задачи на прямоугольники

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

Сначала будем искать стороны указанного треугольника:  ( по свойству диагоналей в любом параллелограмме). Но в прямоугольнике диагонали равны .

Т.к. угол .

Рассмотрим треугольник :  (аналогично углу ),  равносторонний. Следовательно, его периметр .

Ответ: 18 см.

Пример 2. Найдите периметр прямоугольника , если биссектриса угла  делит сторону  на отрезки 2 см и 3 см.

Рис. 5 (а), рис. 5 (б)

Решение. Сразу же стоит заметить, что это пример задачи на два варианта решения, наличие которых еще надо заметить. «Изюминка» условия задачи заключается в том, что не указано, в каком именно порядке расположены отрезки, на которые биссектриса прямоугольника разбивает его сторону. В результате имеем два варианта рисунков 5 (а, б).

Т.к.  – биссектриса, то , кроме того,  – как накрест лежащие углы при параллельных прямых, следовательно,  равнобедренный, а из этого следует, что .

Далее разобьем решение на две части, в каждой из которых рассмотрим отдельный случай.

А. Рис. 5 (а). . Сторона прямоугольника  (для обоих случаев). Периметр прямоугольника .

Б. Рис. 5 (б). . Периметр прямоугольника .

Ответ: .

Пример 3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство. Изобразим Рис. 6.

Рис. 6

Необходимо доказать, что . Между прочим, это свойство медианы в прямоугольном треугольнике уже использовалось нами ранее, сейчас мы докажем его, используя свойства прямоугольника.

Продлим медиану  на ее длину, расстояние до точки : . Мы получили четырехугольник . В нем  и  диагонали, и для него мы можем указать следующие факты:

 параллелограмм по третьему признаку. Кроме того, известно, что в нем  прямоугольник (по указанному вначале урока определению – признаку прямоугольника).

По свойству прямоугольника можно указать, что у него равны диагонали, а следовательно, равны и их половинки, т.е. получаем , что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 4. (обратная задача). В треугольнике  медиана . Докажите, что .

Доказательство. Изобразим Рис. 7 и обозначим на нем углы .

Рис. 7

Рассмотрим , он равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Рассмотрим , он также равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Запишем сумму углов треугольника . Но угол  что и требовалось доказать.

Доказано.

4. Задачи с прямоугольниками, вписанными в треугольники

Пример 5. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 8. Ясно, что можно построить множество различных прямоугольников, вписанных в прямоугольный треугольник, но выясняется, что их периметры будут одинаковы, покажем это и найдем искомый периметр.

Рис. 8

По условию  равнобедренный .

Искомый периметр прямоугольника: .

Рассмотрим прямоугольный : .

Тогда периметр прямоугольника : .

Ответ: 12 см.

Пример 6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны и периметр прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?

Решение. Изобразим Рис. 9 и укажем на нем все элементы, которые мы введем в процессе решения задачи.

Рис. 9

По условию  равнобедренный и прямоугольный .

Указано, что вписанный прямоугольник имеет заданные пропорции, поэтому его стороны можно ввести, как определенное количество неизвестных нам частей : .

Рассмотрим треугольники  и  – они прямоугольные и имеют по одному углу , следовательно, второй угол у них тоже по  (см. решение предыдущей задачи), т.е. они равнобедренные, и .

Теперь можем выписать длину гипотенузы  как сумму длин отрезков, на которые она разбита вписанным прямоугольником (через те части , которые мы ввели): .

Теперь можем посчитать длины сторон прямоугольника и его периметр: .

Ответ: стороны равны .

Сегодня мы рассмотрели прямоугольник, его свойства, признаки и задачи на прямоугольник. На следующем уроке мы познакомимся с такими частными случаями параллелограмма, как ромб и квадрат.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Xvatit.com (Источник).
  2. Matmir.ru (Источник).
  3. Логические задачи и головоломки (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Стр. 57, 58: № 53, 54. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол, равный . Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне.
  3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на  4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.
  4. Построить прямоугольник по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см.
Логические задачи и головоломки