Классы
Предметы

Вписанная окружность

На данном уроке мы узнаем, что такое вписанная окружность, и докажем, что в любой треугольник можно вписать окружность.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Тема: Окружность

Урок: Вписанная окружность

1. Опорные определения

Начнем с напоминания важных опорных фактов, и первый факт – это касание прямой и окружности.

Задана окружность с центром О и радиусом r (см. Рис. 1). А – общая точка прямой и окружности. Если такая точка единственная, то прямая р – касательная к окружности. Радиус ОА, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной р.

Справедливо обратное: если А – общая точка прямой и окружности, и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой, то общая точка единственная, и прямая р – касательная.

Рис. 1

Рассмотрим касание окружности сторонами угла (см. Рис. 2).

Помним, что биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Точка О лежит на биссектрисе: перпендикуляр ОА к прямой а, ОВ – к прямой В, .

Построим окружность радиусом ОА.

Рис. 2

Утверждаем, что окружность касается прямой а, т.к. А – общая точка прямой а и окружности, и она единственная (радиус ОА перпендикулярен прямой). Аналогично прямая b касается окружности.

Таким образом, имеем окружность, вписанную в угол.

Многоугольник имеет несколько углов и несколько сторон, мы готовы дать определение вписанной в него окружности.

2. Определение вписанной окружности

Окружность называется вписанной в многоугольник, если касается всех его сторон.

Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, рассмотрим пример – окружность вписана в выпуклый четырехугольник:

Как получить центр и радиус вписанной окружности?

Мы знаем, что точка О – центр, лежит на биссектрисе угла А, вписана в угол А, аналогично точка О лежит на биссектрисе каждого угла и вписана в каждый угол.

Таким образом, все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке О.

Строим биссектрисы, на их пересечении получаем центр окружности. Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам

Рис. 3

четырехугольника в точки K, L, M, N. Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных – , , , .

3. Теоремы о четырехугольниках, описанных около окружности

В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Дано: окружность с центром О вписана в четырехугольник ABCD. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Таким образом, описанный четырехугольник – это такой четырехугольник, в который можно вписать окружность (см. Рис. 4)_.

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Запишем равенство через отрезки касательных:

; ; ; ;

;

Раскроем скобки:

;

Таким образом, суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны, что и требовалось доказать.

Итак, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.

Это важная теорема, так как центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Отсюда, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, его биссектрисы пересекутся в одной точке.

Данную теорему мы доказывать не будем.

Прямую и обратную теоремы можно объединить.

Теорема

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

4. Примеры четырехугольников, в которые можно и нельзя вписать окружность

Приведем конкретные примеры четырехугольников, в которые можно вписать окружность и в которые нельзя вписать окружность.

Ромб

У ромба все стороны равны, отсюда суммы противоположных сторон равны, значит, в ромб можно вписать окружность (см. Рис. 5). Кроме того, мы знаем, что диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Значит, каждая диагональ – это биссектриса, биссектрисы всех четырех углов пересеклись в одной точке – точке О. О – центр вписанной окружности.

Рис. 5

Квадрат

Квадрат – частный случай ромба, в него также можно вписать окружность (см. Рис. 6).

Рис. 6

Прямоугольник

В прямоугольник нельзя вписать окружность (см. Рис. 7), это очевидно из рисунка – суммы противоположных сторон не равны, т.к. противоположные стороны равны между собой, а соседние не равны:

Рис. 7

5. Теорема об окружности, вписанной в треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну (см. Рис. 8).

Рис. 8

Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла  – АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов  и , таким образом, от трех сторон треугольника.

Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника – ОМ на сторону АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:

.

Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.

Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Докажем, что данная вписанная окружность единственная. Если бы была вторая окружность, ее центр был бы равноудален от всех сторон треугольника и лежал бы на пересечении всех биссектрис. Но все биссектрисы пересекаются в единственной точке – точке О, таким образом, и вписанная окружность в треугольник единственная.

6. Выводы по уроку

Итак, мы ознакомились с понятием вписанной окружности и доказали некоторые важные теоремы. В следующем уроке мы рассмотрим описанную окружность.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Mschool.kubsu.ru (Источник).
  3. Ege-study.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Задание 1 – в треугольник  вписана окружность с центром О. Найдите угол , если угол .
  2. Задание 2 – на сторонах АВ и АС треугольника АВС, описанного около окружности с центром О, отмечены точки D и E таким образом, что , . Доказать, что .
  3. Задание 3 – найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, периметр которого 24 см, а гипотенуза 10 см.