Классы
Предметы

Взаимное расположение точки и окружности. Обобщение. Решение задач

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Взаимное расположение точки и окружности. Обобщение. Решение задач

На данном уроке мы повторим основные теоремы и опорные факты по теме «Окружность», рассмотрим важнейшие задачи.

Тема: Окружность

Урок: Повторение темы «Окружность». Решение задач

1. Геометрическая конструкция «точка на окружности»

Рассмотрим важную теорему о вписанном угле.

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 1).

;

Рис. 1

Важные следствия из данной теоремы:

Следствие 1:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 2).

Угол  равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы  и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Рис. 2

Следствие 2:

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 3).

 

Рис. 3

Из точки А на окружности выходят хорда и касательная. ےМАВ – угол между касательной и хордой. Данный угол обладает важным свойством.

Свойство

Угол ےМАВ между касательной МА и хордой АВ измеряется половиной отсекаемой дуги  (см. Рис. 4).

Обозначим угол ےМАВ за . У нас задана касательная к окружности МА, ОА – радиус, проведенный в точку касания. Отсюда ОА⊥МА. В таком случае ےОАМ = 90°. Отсюда угол .

Треугольник  равнобедренный, т.к. у него  как радиусы окружности. Отсюда равенство углов при основании АВ: .

Сумма трех углов треугольника составляет 180°. Отсюда найдем угол ےАОВ:

Таким образом, , что и требовалось доказать                                  

Рис. 4

Следствие:

На дугу  опираются вписанные углы ےА1, ےА2 и т.д., они измеряются половиной градусной меры дуги, на которую они опираются, отсюда они все равны углу ےМАВ между касательной и хордой.

Мы рассмотрели свойства простой, но очень важной геометрической конструкции – точки на окружности. Эта конструкция описывается теоремой о вписанном угле и свойством угла между касательной и хордой. И та, и другая теорема широко используются при решении различных задач.

2. Геометрическая конструкция «точка вне окружности»

Рассмотрим следующую важную геометрическую конструкцию – окружность и точка вне окружности.

Теорема

Произведение секущей на внешнюю ее часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной (см. Рис. 5).

Задана окружность с центром О, точка М лежит вне окружности. Касательная МА, секущие МС (внешняя часть МВ) и ML (внешняя часть МК).

Доказать:

Рис. 5

Доказательство:

Выберем произвольную секущую, например, МС, и докажем теорему для нее, этого будет достаточно. Доказательство основано на подобии треугольников. . Они имеют общую вершину М, угол ے входит в оба треугольника. Угол ےМАВ – угол между касательной и хордой, пусть он равен , тогда любой угол, опирающийся на ту же дугу – на дугу АВ, равен . Отсюда угол . Значит, треугольники подобны по двум углам. Осталось выписать отношение подобия:

Воспользуемся свойством пропорции:

, что и требовалось доказать.

Следующее важное свойство изучаемой конструкции касается внешнего угла (см. Рис. 6).

Задана окружность, точка М лежит вне окружности. Две секущие – МС и ML. Угол ےМ – внешний угол. Он опирается на две дуги: дуга , пусть ее градусная мера n°, тогда соответствующий центральный угол ےВСК имеет градусную меру ; дуга , пусть ее градусная мера m°, угол .

Доказать:

Рис. 6

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . В нем ; . Для треугольника  угол ےСКL – внешний угол, значит, он равен сумме двух углов треугольника, несмежных с ним:

Выразим угол ےМ:

Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника измеряется полуразностью дуг, на которые он опирается.

3. Геометрическая конструкция «точка внутри окружности»

Еще одна геометрическая конструкция – точка внутри окружности.

Теорема

Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная для данной точки (см. Рис. 7).

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и . Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы  и ; вписанные углы  и  опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:

Рис. 7

Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось доказать.

Следующее свойство касается внутреннего угла.

Свойство

Внутренний угол измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается (см. Рис. 8).

Задана окружность с центром О. Хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Внутренний угол ےАМD обозначим за .

Доказать:

Рис. 8

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . В нем вписанный угол ےА опирается на дугу , ее градусную меру мы обозначили как , отсюда ; вписанный угол ےС опирается на дугу AD градусной мерой , отсюда угол . Угол  – внешний угол для данного треугольника, он равен сумме двух углов, несмежных с ним:

4. Решение задачи

Мы доказали, что внутренний угол измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается.

Задача

Задан равнобедренный треугольник, . Найти радиус описанной окружности.

Треугольник  полностью задан, мы можем найти в нем любые элементы, но задано найти только радиус описанной окружности.

Рис. 9

Решение:

Мы помним, что центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. АН – медиана, биссектриса и высота – первый серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к АВ – ОМ, точка пересечения серединных перпендикуляров – точка О – центр описанной окружности. Таким образом, нужно найти расстояние от точки О до любой вершины – например, ОВ или ОА, это и будет радиус описанной окружности.

По теореме Пифагора найдем АН:

, ,

Рассмотрим треугольник : в нем ОВ – радиус описанной окружности, , . Применим теорему Пифагора:

Упростим составленное выражение:

5. Выводы по уроку

Итак, мы закончили изучение темы «Окружность» и повторили все основные факты. Далее мы перейдем к изучению векторов.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Edu.glavsprav.ru  (Источник). 
  2. Webmath.exponenta.ru (Источник). 
  3. Fmclass.ru (Источник). 
  4. Univer.omsk.su (Источник). 
  5. Oldskola1.narod.ru (Источник). 
  6. School6.aviel.ru  (Источник). 
  7. Uztest.ru (Источник). 
  8. Raal100.narod.ru (Источник). 
  9. Oldskola1.narod.ru (Источник). 
  10. Webmath.exponenta.ru (Источник). 
  11. Samlib.ru  (Источник). 
  12. Bymath.net (Источник). 

 

Домашнее задание

  1. Задание 1 – найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АВ = 14 см, ےА = 3ےС, ےВ = 2ےС.
  2. Задание 2 – докажите, что точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной около этого треугольника окружностью лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника.
  3. Задание 3 – докажите, что если касательные, проведенные через концы хорды, параллельны, то эта хорда – диаметр окружности.