Классы
Предметы

Теорема, обратная теореме Пифагора

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Теорема, обратная теореме Пифагора

На данном уроке мы поговорим об истории изучения свойств прямоугольных треугольников и о возникновении такого понятия, как пифагоровы тройки. Затем будет сформулирована и доказана теорема, обратная теореме Пифагора, и рассмотрены примеры на ее применение.

Теорема Пифагора

Сперва вспомним саму теорему Пифагора.

Есть прямоугольный треугольник, угол  – прямой,  – гипотенуза,  и  – катеты (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Угол 90 градусов – наибольший в данном треугольнике. Наибольшая сторона – .

Квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Перед нами иная ситуация. Мы не знаем, прямой угол  или нет. Но оказалось, что . Чему равен угол ? Что вообще мы можем сказать про такой треугольник?

Мы можем сказать, что сторона  – наибольшая. , .

Значит, угол  – наибольший. .

Если бы было иначе, то сумма всех углов была бы меньше 180 градусов. Но оказывается, угол  в точности равен 90 градусам. В этом смысл теоремы, обратной теореме Пифагора.

Формулировка теоремы: если квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Докажем эту теорему.

Дано:.

Доказать:.

Доказательство

Рис. 2. Доказательство теоремы

Построим прямоугольный треугольник  с катетами  и . Угол  – прямой (см. Рис. 2). ( ; ; ).

Такой треугольник существует. В этом прямоугольном треугольнике действует прямая теорема Пифагора, то есть: .

Но по условию: .

Отсюда следует, что . Значит, .

Выясняется, что треугольники равны друг другу по трем сторонам: .

Теорема доказана.

Примечание: мы сконструировали треугольник , в котором искомое свойство присутствует, и доказали, что треугольники равны, а значит, углы .

Задача 1

Дано: стороны треугольника  (см. Рис. 3).

Доказать: – прямоугольный.

Рис. 3. Треугольник

a) ; ;

;

 – прямой по обратной теореме Пифагора.

Это всем нам известный «египетский треугольник».

b) ; ;

; ;

Данный треугольник также является прямоугольным.

«Пифагоровы треугольники»

Мы привели примеры так называемых «пифагоровых треугольников». Это такие прямоугольные треугольники, у которых длины сторон являются натуральными числами.

Проверьте, что следующие треугольники к ним относятся: ;  – это частные примеры «пифагоровых треугольников».

А можно ли их описать в общем виде? Можно. Упомянем следующий факт:

,  – гипотенуза.

Пусть , ,  – натуральные числа, где .

По ним вычислили:

Как оказывается, треугольник с такими сторонами прямоугольный и он является «пифагоровым».

Приведем примеры.

Примеры нахождения «пифагоровых треугольников»

1. ; ;

Получили известный нам «египетский треугольник»

2. ; ;

Получили тоже известный нам прямоугольный треугольник .

Общая теорема Пифагора

Прямую и обратную теорему Пифагора можно объединить в одну теорему. Она звучит так: треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон (см. Рис. 4).

Рис. 4. Прямоугольный треугольник

Далее перейдем к задачам.

Задача 2

Дано:; ;  (см. Рис. 5).

Доказать: – прямоугольный.

Найти: его прямой угол.

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Треугольник прямоугольный.

Мы знаем, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. А если угол равен 90 градусов, то он наибольший, значит:

Задача 3

В   – высота (см. Рис. 6);

, , .

Найти: a) ; b) ; c) .

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

a)  – по прямой теореме Пифагора

b)  – по прямой теореме Пифагора

c) Проверим, является ли угол прямым, используя обратную теорему Пифагора

Значит, , лежащий против наибольшей из сторон равен 90 градусов.

В этой задаче использованы и прямая, и обратная теоремы Пифагора.

Заключение

Итак, на этом уроке мы доказали обратную теорему Пифагора, закрепили ее решением задач.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9 классы – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт YouTube (Источник)

2. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «Помощь в математике» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Диагонали параллелограмма равны 16 и 30 см, а сторона – 17 см. Докажите, что данный параллелограмм является ромбом.

2. Стороны треугольника равны 15, 20 и 25 см. Найдите медиану и высоту, проведенную к наибольшей стороне.

3. Найдите высоты треугольника, если его стороны равны 7, 24 и 25 см.