Классы
Предметы

Второй признак подобия треугольников

Признаки подобия позволяют сделать вывод о подобии треугольников, не используя при этом все элементы треугольников. На этом уроке мы рассмотрим второй признак подобия треугольников, который позволяет сделать вывод о подобии треугольников по углу и пропорциональности прилежащих сторон. Также мы докажем этот признак подобия и решим с помощью него несколько типовых задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты»

Повторение: подобные треугольники, первый признак подобия треугольников

Подобными называются такие треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника (см. рис. 1).

 

Рис. 1. Подобные треугольники 

Отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого называется коэффициентом подобия (): .

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны (см. рис. 2). 

 

Рис. 2. Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников, доказательство

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум другим сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: ;  ; ;  (см. рис. 3).

Доказать: подобие данных треугольников  

 

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

Согласно первому признаку подобия треугольников, треугольники подобны, если два угла одного соответственно равны двум углам другого. Поэтому для доказательства того, что , необходимо доказать, что угол  равен углу  (угол  равен углу  по условию).

Построим треугольник  (см. рис. 4), у которого , а . Согласно первому признаку подобия треугольников  (признак подобия по двум углам). 

 

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Из подобия этих треугольников следует, что сторона  относится к стороне  как сторона  относится к стороне :

Из условия известно, что . Следовательно, . Таким образом, .

Получаем, что треугольники  и  равны, так как у них равны две стороны и угол между ними ( – общая сторона,  и , поскольку  и ).

Отсюда следует, что , а так как , то .

У треугольников  и : , а . Согласно первому признаку подобия треугольников эти треугольники подобны: . Что и требовалось доказать.

Задача 1

По данным рисунка 5 найти длину x, доказать, что .

 

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение

1) Рассмотрим два треугольника с общей вершиной  и : , так как они вертикальные.

Прилегающие стороны у этих треугольников пропорциональны: .

Следовательно, эти треугольники подобны (), согласно второму признаку подобия. Коэффициент подобия равен 2. С помощью него определим длину .

2) Так как , то все углы у них равны.  – эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых  и  секущей . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Ответ: параллельность прямых  и  доказана; .

Задача 2

По данным рисунка найти длину , отметить равные углы и доказать, что  (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Решение

1)  является общим для треугольников  и . К данному углу прилегают сторона  и сторона  треугольника , а также сторона  и сторона  треугольника .

Видно, что .

Следовательно, , согласно второму признаку подобия треугольников (общий угол и пропорциональность прилежащих сторон).

2) Коэффициент подобия у этих треугольников равен 3, поэтому можно определить сторону :

3) Стороны  и  являются сходственными, следовательно, они лежат напротив равных углов: .

Стороны  и  также являются сходственными, следовательно, .

Отметим равные углы на рисунке (см. рис. 7). 

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Ответ: ; ; ; .

Задача 3

Найти длину , отметить равные углы и доказать, что  (см. рис. 8). 

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Решение

1)  является общим для треугольников  и . К данному углу прилегают сторона  и сторона  треугольника , а также сторона  и сторона  треугольника .

Видно, что .

Стороны треугольников, прилежащие к , пропорциональные, следовательно, , согласно второму признаку подобия треугольников.

2) Стороны  и  являются сходственными, следовательно, они лежат напротив равных углов: .

Стороны  и  также являются сходственными, следовательно, .

Отметим равные углы на рисунке (см. рис. 9). 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

3) , так как эти прямые пересекаются секущей  и при этом соответственные углы равны ().

4) Коэффициент подобия у треугольников  и  равен 3, поэтому можно определить сторону : .

Ответ: ; ; ; параллельность прямых  и  доказана.

 

Домашнее задание

  1. Задачи 557, 559- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы  (Источник).
  2. ; ; ;  (см. рис. 10). Найти  и . 
     
    Рис. 10. Иллюстрация к задаче
  3. В треугольнике  точка  лежит на стороне , , , . Докажите, что  (см. рис. 11). 
     
    Рис. 11. Иллюстрация к задаче

 

Список рекомендованной литературы

  1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы – М.: Просвещение, 2010.
  2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Tutoronline.ru (Источник).
  2. Youtube.com (Источник).
  3. 900igr.net (Источник).
  4. Ru.solverbook.com (Источник).