Классы
Предметы

Треугольники

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Треугольники

На этом уроке мы повторим основные понятия, пройденные в 7 классе. К ним относятся: важнейшая геометрическая фигура – треугольник, его свойства, признаки равенства треугольников. Для повторения основных фактов, связанных с треугольниками, нам необходимо будет вспомнить понятия, возникающие при рассмотрении пересечения секущей двух параллельных прямых, такие как накрест лежащие, односторонние, соответственные и вертикальные углы. Исходя из этих понятий, мы повторим теоремы о сумме углов треугольника и о внешнем угле треугольника. В ходе урока рассмотрим примеры.

Тема: Повторение

Урок: Треугольники

1. Признаки равенства треугольников

Начнем с определения важнейшей фигуры в курсе геометрии – треугольника.

Определение. Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые соединяют эти точки.

Одним из основных умений в работе с треугольниками является умение их сравнивать, а для этого необходимо владеть признаками равенства треугольников. Может возникнуть вопрос: зачем уметь определять, равны треугольники или нет? Дело в том, что в случае равенства треугольников можно утверждать не только о равенстве их соответствующих сторон и углов, а и о равенстве всех остальных элементов: биссектрис, медиан, высот и т.д. А это уже достаточно объемная информация, которая может оказаться полезной в том или ином случае.

Определение. Две фигуры равны, если их можно совместить при наложении.

Первый признак равенства треугольников (по углу и прилежащим сторонам) (см. Рис. 1).

Два треугольника равны, если угол и две прилежащие к нему стороны одного треугольника равны соответственно углу и двум прилежащим к нему сторонам другого треугольника.

.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам) (см. Рис. 2).

Рис. 2. Второй признак равенства треугольников

Два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам) (см. Рис. 3).

Рис. 3. Третий признак равенства треугольников

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника.

.

Вспомним три признака равенства треугольника: мы можем видеть, что, используя небольшое количество фактов о двух треугольниках, можно получить достаточно много информации о равенстве всех их элементов.

Свойства треугольников, которые мы повторим в дальнейшем, будут связаны со свойствами параллельных прямых.

2. Аксиома о параллельных прямых

Через точку, не лежащую на прямой, можно провести параллельную ей прямую и, притом, только одну (см. Рис. 4).

3. Две параллельные прямые и секущая, признаки параллельности прямых

Данный факт является очевидным, но необходимо рассмотреть более полезные утверждения, касающиеся такой системы объектов, как две параллельные прямые и секущая (прямая, пересекающая две параллельные прямые) (см. Рис. 5).

Рис. 5. Две параллельные прямые и секущая

Если известно, что , как на Рис. 5, то у указанных углов существуют специальные названия:

 и  – накрест лежащие,

 и  – односторонние,

 и  – соответственные,

 и ,  и  – вертикальные.

Для соотношений между этими углами можно сформулировать ряд признаков параллельности двух прямых:

1. – накрест лежащие углы равны тогда и только тогда, когда прямые параллельны.

2.  – соответственные углы равны тогда и только тогда, когда прямые параллельны.

3.  – сумма односторонних углов равна  тогда и только тогда, когда прямые параллельны.

Примечательно то, что указанные признаки параллельности можно применять и в обратном направлении и получать соотношения между углами при пересечении двух параллельных прямых секущей.

Знание этих фактов может помочь не только при решении геометрических задач, а при доказательстве важнейших теорем о треугольнике, которые мы сейчас и рассмотрим.

4. Теорема о сумме углов треугольника

Сумма внутренних углов в любом треугольнике равна  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Теорема о сумме углов треугольника

 или, в обозначениях латинских букв, .

Доказательство.

Проведем прямую .

 как накрест лежащие,  как накрест лежащие.

 как развернутый угол.

Доказано.

Рис. 7. Теорема о внешнем угле треугольника

5. Теорема о внешнем угле треугольника

Любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

.

Доказательство.

Сумма углов треугольника .

С другой стороны,  находится с использованием смежного к нему угла : .

Используя равенство, полученное выше, имеем: .

Доказано.

В качестве примера докажем еще один важный факт, который можно назвать еще одним признаком равенства треугольников.

6. Пример (признак равенства треугольников по двум сторонам и большему углу)

Рис. 8. Признак равенства треугольников по двум сторонам и большему углу

Два треугольника равны, если две стороны и наибольший угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и наибольшему углу другого треугольника.

.

Доказательство.

Если наибольшим углом окажется угол , то признак доказан, т.к. он сводится к первому признаку равенства треугольником. Поэтому на Рис. 8 изображен общий случай, когда наибольшим является угол, не лежащий между указанными сторонами, например, это угол . Кстати, наибольший угол  не обязательно должен быть тупым, на рисунке так изображено только для наглядности.

Для доказательства равенства треугольников вспомним, что фигуры равны, если их можно совместить.

Мысленно наложим один треугольник поверх второго так, чтобы совпали точки  и . Ввиду равенства сторон  и угла  несложно представить, что точки  и  тоже совпадут. Получим, что у двух сравниваемых треугольников уже совпали две вершины, но не факт, что совпадет третья ( и ), это и осталось доказать.

Докажем этот факт от противного: изобразим исходный треугольник поверх другого треугольника (в скобках указаны совпавшие вершины) и представим, что вершины  и  не совпали, как это указано на Рис. 9.

Рис. 9

Нам необходимо доказать, что ситуация несовпадения точек  и  невозможна.

Рассмотрим получившейся в результате наложения треугольник . В нем стороны  по условию, следовательно, он равнобедренный, следовательно, . А  , если назвать вершины, как в исходном треугольнике.

Но угол  является внешним для треугольника , следовательно, . Получили такие соотношения:

, что противоречит условию задачи. Следовательно, точки  и  совпадают, и .

Доказано.

В рамках урока мы повторили признаки равенства треугольников и две важнейшие теоремы о треугольниках.

На следующем уроке мы вспомним свойства такого частного вида треугольников, как прямоугольный треугольник.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. 3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. School.xvatit.com (Источник).
  2. СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (Источник).

         

Домашнее задание

  1. № 2, 5, 7 (а, б), 13, 17, 21, 33. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. На медиане  треугольника  отметили точку  так, что . Докажите, что  – равнобедренный.
  3. Равнобедренные треугольники  и  имеют общее основание . Докажите, что прямая  – серединный перпендикуляр отрезка .
  4. В треугольнике  , биссектрисы внешних углов при вершинах  и  пересекаются в точке . Найдите угол .
  5. В треугольнике  , . На стороне  отметили точку  так, что .  Найдите углы треугольника