Классы
Предметы

Свойства движения. Параллельный перенос

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Свойства движения. Параллельный перенос

Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды – осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

Тема: Движение

Урок: Движение. Свойства движения

1. Введение

Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок.

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M1 и N1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р1 отрезка M1N1, и наоборот, в каждую точку Q1 отрезка M1N1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р1' плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M1N1,                MР = M1Р1', РN = Р1'N1. Из этих равенств следует, что M1Р1', M1Р1'+ Р1'N1 = MР + РN = MN = M1N1, то есть, точка Р1' принадлежит отрезку M1N1 и совпадает с точкой P1, в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника       M1Р1'+ Р1'N1 > M1N1. То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р1 отрезка M1N1. Вторая часть теоремы (касательно точки Q1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О1, а точки А и В – соответственно в точки А1 и В1.

Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А1, О1 и В1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин        АО = А1О1, ОВ = О1В1 и АВ = А1В1. Таким образом, АОВ = А1О1В1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О1.

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

 

Рассмотрим еще один вид движения – параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор  называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М1 той же плоскости, чтобы   (Рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

Докажем, что параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М1, а точка N – в точку N1. При этом выполнены условия параллельного переноса:   и  . Рассмотрим четырехугольник

 ММ1N1N. У него две противоположные стороны (MM1 и NN1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M1N1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол – в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

 

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Российский общеобразовательный портал (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.