Классы
Предметы

Четыре замечательные точки треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Четыре замечательные точки треугольника

Темой этого занятия будут четыре замечательные точки треугольника. На уроке мы повторим курс геометрии 8 класса, а именно: замечательные точки треугольника – дадим еще раз определение понятию «треугольник», который имеет три угла и три отрезка. На основе его свойств поговорим о четырех замечательных точках.

Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Урок: Четыре замечательные точки треугольника

1. 1-я замечательная точка: точка пересечения серединных перпендикуляров

Рассмотрим отрезок AB. Проведем серединный перпендикуляр.

Если точка лежит на серединном перпендикуляре, то она равноудалена от концов отрезка.

PA = PB (вытекает из равенства прямоугольных треугольников).

Обратно, если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре.

Определение: серединный перпендикуляр – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от концов отрезка.

Рассмотрим треугольник ABC.

Проведем серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC. Они пересекутся в точке O.

Точка O равноудалена от концов отрезка AB. Т.е. OA = OB = R, также точка O равноудалена от концов отрезка AC. OA = OC = R (т.к. OA = R).

Но т.к. OB = OC, то точка O также равноудалена от концов отрезка BC, т.е. лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.

Мы доказали теорему:

Теорема: 3 серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка – центр описанной окружности.

2. 2-я замечательная точка: точка пересечения биссектрис

Рассмотрим угол A. Проведем биссектрису. Рассмотрим любую внутреннюю точку биссектрисы. Эта точка равноудалена от сторон угла (т.к.

OB= OC= r, а также AB= AC.

Если мы захотим вписать в угол окружность, то ее центр должен лежать на биссектрисе.

Обратно, если точка равноудалена от сторон угла, то он лежит на биссектрисе.

Определение: биссектриса – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла.

Рассмотрим треугольник ABC.

Проведем биссектрисы углов B и C. Они пересекутся в точке O.

Точка O равноудалена от сторон угла B => OK = OP = r.

Точка O равноудалена от сторон угла C => OK = OL = r.

Т.к. OL = ON = r, значит, точка O равноудалена от сторон угла A.

Мы доказали теорему.

Теорема: 3 биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Кроме того, стоит упомянуть о равных отрезках касательных. На рисунке ниже наглядно представлено это свойство:

3. Решение задачи

Дан треугольник, в котором известен полупериметр и сторона a.

Найти: длину касательной AN = x.

Решение:

1. Проведем биссектрисы и получим центр вписанной окружности O.

2. Из точки O опустим перпендикуляры на стороны и получим точки касания:

ON⊥AB,

OL⊥AC,

OK⊥BC.

ð  N, K, L – точки касания.

3. Отметим равные касательные x, y, z.

4. Напишем связь между сторонами треугольника и касательными.

Сложим 3 соотношения:

Ответ:

Замечание: для прямоугольного треугольника аналогично выводится формула для радиуса вписанной окружности (в который превращается один из отрезков касательных):

4. 3-я, 4-я замечательные точки

Высоты  треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

В случае, если треугольник тупоугольный, ортоцентр находится вне треугольника.

Медианы  треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан – центр тяжести треугольника. Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.


Список литературы

1.      Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник). 


Домашнее задание

Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 674-688