Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Четырёхугольники. Параллелограмм

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Четырёхугольники. Параллелограмм

На этом уроке мы познакомимся с темой «Четырехугольники. Параллелограмм». На нем мы поговорим об уже известных четырехугольниках (курс алгебры 7–9 классы). Дадим определение параллелограмму, вспомним его основные свойства и признаки.

Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Урок: Четырехугольники. Параллелограмм

1. Определение, свойства (с доказательством)

Определение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства:

1. Противоположные стороны равны.

2. Противоположные углы равны.

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

5. Диагонали параллелограмма рассекают его на 4 равновеликих треугольника:

Докажем свойство 5:



Аналогично доказывается равенство площадей других треугольников.  

6. 


Доказательство:

Пусть Тогда

По теореме косинусов (для треугольника BCD):

По теореме косинусов (для треугольника BAC):

Сложим 2 равенства:

7. Точка пересечения диагоналей параллелограмма – это центр симметрии. Любые центрально-симметричные элементы параллелограмма равны между собой.

2. Признаки

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. 2 стороны параллельны и равны друг другу.

2. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

3. Частные случаи параллелограмма

 1. Прямоугольник

Определение: прямоугольник – это параллелограмм, у которого хотя бы один угол равен 90° (все углы равны 90°).

Для всех частных случаев параллелограмма применимы все свойства параллелограмма. Тем не менее есть особенные свойства.

Свойства:

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Около прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения диагоналей, радиус описанной окружности: OA = OB = OC = OD.

2.  Ромб

Определение: ромб – это параллелограмм, у которого две соседние стороны равны между собой (все стороны равны).

Свойства:

1. Диагонали ромба перпендикулярны.

2. Диагонали являются биссектрисами углов.

3. В ромб можно вписать окружность (4 биссектрисы пересекаются в одной точке).



3. Квадрат

Определение: квадрат – это ромб, у которого хотя бы один угол равен  90° (все углы равны 90°.

Для квадрата применимы все свойства ромба и прямоугольника. Тем не менее есть особенные свойства.

В частности,
1. Вокруг квадрата можно описать окружность,  

2. В квадрат можно вписать окружность,


Список литературы

1.      Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник). 

2.      Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс (Источник).


Домашнее задание

1.      Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 371-384 (параллелограмм), №№ 399-423 (прямоугольник, ромб, квадрат).

2.      Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс: все задачи под пунктами C2, C3, C7.