Классы
Предметы

Окружность

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Окружность

На этом видеоуроке мы изучим тему «Окружность». На предыдущих занятиях мы уже сталкивались с этим понятием. Сейчас мы повторим формулы вычисления радиуса этой фигуры и вместе с учителем решим несколько типовых задач по этой теме.

Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Урок: Окружность

1. Что такое окружность?

Пример неверного ответа на вопрос, что такое окружность. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Если рассмотреть квадрат и его вершины, то вершины квадрата будут равноудалены от центра квадрата. Но это не есть окружность.

Определение:

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Это также означает, что если точка A лежит на окружности, то расстояние OA = R, где R – радиус окружности.

Обратно, если для некоторой точки B расстояние OB = R, то точка B лежит на окружности.

2. Взаимное расположение окружности и прямой

Прямая не пересекается с окружностью

Прямая пересекает окружность в одной точке – такая прямая называется касательной

Прямая пересекает окружность в двух точках

 

Свойство: прямая является касательной к окружности, когда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен прямой

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB

 

3. Точка на окружности. Теорема о вписанном угле. Следствия

Из точки на окружности можно провести либо 1 касательную, либо 2 хорды.

Рассмотрим угол, который образован точкой на окружности и двумя хордами, продолжения которых пересекают эту окружность.

Получили вписанный треугольник ABC.

называется вписанным в окружность. Ему соответствует центральный угол .

Эти углы опираются на дугу

Дугу можно измерить угловым измерением, а также можно измерить длину дуги.

 Угловое измерение: =

Теорема 1:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

=

Идея доказательства:

Разобьем угол на 2 угла:  и .

OA = OB = R – равнобедренный.

Т.е. ∠

Внешний угол равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов треугольника  т.е.

Аналогично,

Суммируя дуги,

=

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Следствие 2

Любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

 (так как они опираются на центральный развернутый угол, который равен 180).

4. Точка на окружности. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

Дано: AM – касательная, ∠MAB =

Доказать: == 2

Доказательство:

Т.к.  равнобедренный,

 

5. Задачи

Задача 636

Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.

Дано:Найти: ∠ACB.

Решение:

1.      OA = OB = R => равносторонний. => ∠AOB = 60

2.      Рассмотрим четырехугольник ACBO. Сумма углов в четырехугольнике равна 360.

∠ACB = 360– (90+ 90 + 60) = 120.

Ответ: 120

Задача 635

Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Решение:

1.      OA = OB = R => равносторонний. => ∠OAB = 60

2.      ∠BAM = 90– 60

Ответ:


Список литературы

1.      Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник). 

2.      Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс (Источник). 


Домашнее задание

Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 631-673.

Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс: все задачи C26.