Классы
Предметы

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Соотношения между сторонами и углами треугольника

Этот видеоурок будет посвящен следующей теме – «Соотношение между сторонами и углами треугольника». Для начала вспомним уже известные нам основные понятия из курса геометрии 7–9 классов, касающиеся центральной фигуры в геометрии – треугольника. Запишем соотношение между сторонами и углами этой фигуры.

Соотношение между углами треугольника

Доказательство:

Проведем прямую, параллельно BC.

По свойству о двух параллельных прямых и секущей, накрестлежащие углы равны.

Сумма углов  составляет развернутый угол

Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Соотношение между сторонами и углами/сторонами треугольника

 Соотношение между сторонами и углами треугольника.

Против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Следствие: против равных сторон лежат равные углы и наоборот.

Соотношение между сторонами треугольника.

Теорема синусов

 

=>

 

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC и опишем окружность вокруг него.

Проведем диаметр BD.

∠DCA=90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Пусть  Тогда

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.  

Рассмотрим треугольник BDC. В нем найдем катет a:

Теорема косинусов

Замечание: если треугольник прямоугольный, теорема косинусов превращается в теорему Пифагора:

 

Пример

Даны стороны треугольника a,b и угол  между ними. Найти: сторону c и углы

Решение:

По теореме косинусов для угла

Замечание: однозначно ли теперь мы знаем угол ? Ответ: да.

Например:

А если вдруг мы вычислили sin.

 

Список литературы

Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9 (Источник). 

 

Домашнее задание

Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9: №№ 1025-1038