Классы
Предметы

Точка внутри и вне окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Точка внутри и вне окружности

На этом занятии мы изучим тему «Точка внутри и вне окружности». На этом итоговом уроке мы повторим понятие окружности, вспомним ее основные свойства. Рассмотрим примеры расположения точки внутри и вне окружности. Вместе с преподавателем решим несколько задач на эту тему.

Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Урок: Точка внутри и вне окружности

1. Точка на окружности

Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, на которую он опирается и равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

2. Точка внутри окружности. Теорема о произведении отрезков хорд.

Теорема: произведение отрезков хорд есть величина постоянная для данной точки M внутри окружности. Или другим словами:

При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.

CM*MD=AM*MB

Доказательство:

Проведем отрезки AC, BD, тем самым заключив отрезки CD и AB в треугольники.

Пусть

Тогда дуга  на которую он опирается, равна

На эту дугу опирается в частности угол D.

Кроме того, ∠AMB=∠BMD.

3. Точка внутри окружности. Теорема об угле между пересекающимися хордами.

Теорема:

Внутренний угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой высекаемых ими дуг:

Доказательство:

Проведем отрезок BC. Пусть

Вписанный угол ∠ опирается на дугу  

Вписанный угол ∠ опирается на дугу  

Таким образом знаем углы треугольника CMB.

По теореме о внешнем угле, ∠

4. Точка вне окружности: теорема о произведении секущей на ее внешнюю часть

Проведем 2 секущих и одну касательную.

Теорема: произведение секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная, равная квадрату касательное.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники MTB и MAT.

∠MTB – угол между касательной и хордой. Пусть

Тогда дуга  которую он заключает, равна

На эту дугу опирается вписанный угол ∠BAT, который равен

Т.е.

∠M – общий =>Треугольники подобны по 2м углам:

Докажем теперь, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники MBD и MCA.

 

1.     ∠M – Общий;

2.     Четырехугольник ABDC – вписанный => ∠BAC+∠BDC=180°

Но ∠MDB+∠BDC=180° => ∠MDB=∠BDC


Список литературы

Л.Ф. Атанасян, Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, Уроки 45-48 (Источник). 


Домашнее задание

Л.Ф. Атанасян, Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса: №№ 243-248.