Классы
Предметы

Удвоение медианы

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Удвоение медианы

Этот урок будет посвящен теме «Удвоение медианы». На этом занятии мы рассмотрим треугольник, в котором проведена медиана. Продлим ее на длину, равную исходному значению медианы и соединим вершины треугольника с полученной удвоенной медианой. В результате мы получим новый четырехугольник, который и рассмотрим.

Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Урок: Удвоение медианы

1. Введение

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM.

Удвоим эту медиану, т.е. проведем отрезок MD: MD=BM.

 

Получили параллелограмм ABCD (по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам).

В ряде задач с этим параллелограммом очень удобно работать.

2. Теорема: если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный

Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM, которая совпадает с высотой. Продлим медиану: MD=BM. Четырехугольник ABCD – параллелограмм (AM=MC, т.к. BM – медиана, BM=MD (по построению)).

С другой стороны, у него перпендикулярны диагонали. => ABCD – ромб => AB=BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Чтд.

3. Теорема: медиана в прямоугольном треугольнике равна половине его гипотенузы

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором проведена медиана СM из вершины прямого угла. Продолжим медиану CM. Получаем четырехугольник ACBD, который является параллелограммом.

С другой стороны в этом параллелограмме угол С – прямой => ACBD – прямоугольник.

=> CD=AB.

=> CM=1/2*AB. Чтд.

Замечание: Обратная теорема так же верна. Доказательство: самостоятельно.

4. Задача 1

Дан треугольник ABC, в котором сторона AB равна 10, сторона AC=16, а медиана AM=5.

Найти площадь треугольника ABC.

Решение:

Удвоим медиану: получим точку D: AD=2*AM=10.

Получили параллелограмм BACD, в котором нам известны стороны AB=CD=10, AC=BD=16.

Рассмотрим треугольник BAD. В этом треугольнике мы знаем все 3 стороны: 10, 10, 16.

Получился равнобедренный треугольник.

Проведем высоту AH=36 (по теореме Пифагора).

Заметим, что равенство  можно было доказать, исходя из других соображений, а именно:

Теорема: медиана делит треугольник на два равновеликих => рассматривая треугольник ABC и медиану AM, получаем:

В свою очередь рассматривая треугольник BAD и медиану BM, получаем:  

=> =>

Итог:

Если в задаче дана медиана, то очень часто полезно ее удвоить, чтобы свести задачу к параллелограмму, ромбу или прямоугольнику, с помощью чего можно решать ряд задач.


Домашнее задание

Задачи (Источник).