Классы
Предметы

Вписанные и описанные окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Вписанные и описанные окружности

На этом занятии мы изучим вписанные и описанные окружности. Для начала дадим определение вписанной окружности, поговорим об ее основных свойствах. Также рассмотрим варианты описанной окружности, перечислим ее главные свойства. Используя полученные сведения, вместе с преподавателем решим несколько примеров на эту тему.

Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Урок: Вписанные и описанные окружности

1. Определение: центр вписанной и описанной окружности

Теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла, а именно на свойстве точек биссектрисы быть равноудаленными от сторон угла.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

Теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра, а именно на свойстве точек серединного треугольника быть равноудаленными от концов отрезка.

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

2. Теорема о соотношении для отрезков диагоналей

Четырехугольник. Вписанная и описанная окружности

Рассмотрим окружность. Пусть она описана около четырехугольника.

Рассмотрим точку M внутри окружности и проведем 2 хорды, пересекающиеся в точке M.

Получили вписанный четырехугольник ABCD.

Теорема:

AM* CM= BM* MD

Доказательство:

 т.к.:

1.∠BAM опирается на дугу  ∠CDM также опирается на дугу  По теореме о вписанном угле эти углы равны.

2.∠ABM опирается на дугу  ∠DCM также опирается на дугу  По теореме о вписанном угле эти углы равны.

Т.к. треугольники подобны, можем выписать соотношение подобия для сходственных сторон (тех сторон, которые лежат против равных углов треугольников):

Или, что то же самое:

3. Признак описанной окружности вокруг четырехугольника

Теперь мы хотим понять, каков должен быть четырехугольник, чтобы около него можно было описать окружность.

Вспомним, что около треугольника можно всегда описать окружность, а вот с четырехугольником все сложнее: 4-я точка может лежать как внутри окружности, так и вне ее.

Признак описанной окружности вокруг четырехугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна

Доказательство необходимости:

Пусть . Он опирается на дугу

Противоположный ему угол   Он опирается на дугу  

Но

4. Признак вписанной окружности в четырехугольник

Рассмотрим описанный четырехугольник.

Центр окружности лежит на пересечении биссектрис.

Из центра окружности можно опустить перпендикуляры на стороны, а затем отметить равные отрезки касательных:

Как можно заметить из рисунка, суммы противоположных сторон равны. Это и есть признак.

Признак вписанной в четырехугольник окружности:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны, т.е. AB+ CD= BC+ AD.

Действительно, x+ y+ z+ u= y+ z+ x+ u.

5. Вписанная и описанная окружность в правильный n-угольник

Рассмотрим правильный n-угольник.

Дано: сторона правильного n-угольника  Найти: r и R.

В правильном n-угольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

  Опустим из точки O перпендикуляр OM. Тогда:

OA= OB= R, OM= r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB.

 

 

6. Подведение итогов

Список литературы

1.      Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник). 

 

Домашнее задание

Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 689-711.