Классы
Предметы

Простейшие задачи в координатах

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Простейшие задачи в координатах

Тема урока: «Простейшие задачи в координатах». На этом уроке мы рассмотрим три опорные задачи: определение координат середины отрезка, вычисление длины отрезка и вычисление расстояния между точками.

Основные сведения о координатах вектора (напоминание)

Любой вектор  разлагается по векторам  и  однозначно:

.

Если известно начало вектора – точка  и конец вектора – точка то координаты вектора  то есть из координат конца нужно вычесть координаты начала.

Через координаты векторов мы умеем находить их сумму, разность и произведение на число.

Пользуясь всем этим, рассмотрим три опорные задачи:

Координаты середины отрезка

Задача 1. Координаты середины отрезка.

Дано: отрезок АВ; ; ; С – середина АВ.

Найти: координаты точки .

Решение (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Построим векторы ,  и .

Найдем вектор :

Другим путем:

.

Сложим:

Так как С – середина отрезка и векторы  и  противонаправлены, то , следовательно .

Найдем координаты вектора

Координаты вектора  совпадают с координатами точки , координаты вектора  совпадают с координатами точки .

Координаты вектора   совпадают с координатами точки , следовательно

Определение длины вектора

Задача 2. Вычисление длины вектора по его координатам.

Дано: вектор

Найти: длину вектора .

Решение (рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Задан вектор , отложим его от начала координат, получим вектор  с началом в точке  и концом в точке .

  это проекция на ось ;

  это проекция на ось

По теореме Пифагора

Если вектор  задан своими координатами, то его длина находится по формуле:

Формула расстояния между точками

Задача 3. Вычисление расстояния между точками.

Дано: точки  и .

Найти: расстояние  между точками.

Решение (рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим вектор . Из координат конца вычтем координаты начала:

.

Теперь нужно найти длину этого вектора.

Для этого отложим его от начала координат (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Получаем точки  и

;

Раз векторы равны, то координаты точки  ( равны координатам вектора .

(По формуле, полученной в задаче 2).

Решение задач

Задача 4.

Дано: отрезок , точка  и точка   середина .

Найти: координаты точки .

Решение (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Каждая координата точки  равна полусумме соответствующих координат точек  

Находим :

  

Ответ:

Задача 5.

Дано:  .

Найти: расстояние =

Решение (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ:

Заключение

Итак, мы рассмотрели три простейшие опорные задачи и применили их для решения конкретных примеров. Эти опорные задачи далее будут использоваться при решении более сложных задач.

 

Список литературы

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
  3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. E-science.ru (Источник).
  2. E-science.ru (Источник).
  3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 936; 938; 940.