Классы
Предметы

Решение задач по теме "Уравнение прямой"

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач по теме "Уравнение прямой"

Тема урока «Решение задач по теме «Уравнение прямой»». На прошлом уроке мы вывели уравнение прямой. На этом уроке мы используем это уравнение для решения типовых задач, рассмотрим взаимное расположение прямых на плоскости.

Решение задач

Задача 1.

Даны координаты вершин трапеции  ABCD: . Напишите уравнения прямых, содержащих

а) диагонали AC и BD;

б) среднюю линию трапеции.

Решение (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 

общее уравнение прямой, оно задается конкретной тройкой чисел a, b и c.

а) Найдем уравнение прямой АС, для этого в уравнение прямой подставляем координаты точек А и С:

Как и раньше, получили два уравнения с тремя неизвестными, будем решать ее методом алгебраического сложения.

Если с=0, то прямая проходит через начало координат. Подставим с в любое уравнение:

Ответ:

б) Найдем уравнение прямой BD: точки B и D имеют одну и ту же ординату, равную 1, поэтому уравнение прямой BD.

Ответ:

в) Найдем координаты точки M – середины CD и точки N – середины AB:

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 

Подставляем координаты точек M и N в уравнение

Подставляем в первое уравнение:

Ответ:

Задача 2.

Найдите координаты точек пересечения прямой  с осями координат. Начертите эту прямую и найдите длину отрезка прямой, отсекаемого осями координат.

Решение:

Определим точки пересечения с осями и построим данную прямую (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 

x

0

-4

y

3

0

A(0; 3), B(-4; 0) 

Найдем длину отрезка АВ:

Ответ: A(0; 3), B(-4; 0), АВ=5.

Задача 3.

Найдите координаты точек пересечения прямых  и .

Координаты искомой точки являются координатами точки пересечения прямых, поэтому они удовлетворяют и первому и второму уравнениям прямых, то есть следует решить систему из двух уравнений:

Координаты точки пересечения прямых

Ответ:

Роль и смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой

Уравнение наклонной прямой –

В этом уравнении m – ордината точки пересечения с осью Oy, действительно,

k – угловой коэффициент, при k>0 функция возрастает, при k<0 функция убывает.

Задача 4.

Определить знаки k и m по графику функции .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 

k>0, так как функция возрастает, угол наклона прямой острый, и m>0.            

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

k>0, m<0 (рис. 5).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

k<0, m>0 (рис. 6).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

k<0,m<0 (рис. 7).

Мы вспомнили смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой и продемонстрировали определение знаков этих коэффициентов по графику функции.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Вспомним теперь взаимное расположение прямых на плоскости.

Пусть две прямые заданы уравнениями: и

1.             Прямые пересекаются, система
 имеет единственное решение

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Прямые пересекаются 

2.     

В этом случае прямые параллельны, система не имеет решений (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

3.     

Прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Переход от общего уравнения прямой к уравнению наклонной прямой

общее уравнение прямой, если  то можно перейти к уравнению наклонной прямой:

Делим уравнение на b:

обозначим

и получим

Взаимное расположение прямых, заданных общим уравнением

Мы рассмотрели взаимное расположения прямых, заданных уравнением наклонной прямой, рассмотрим взаимное расположение прямых, заданных уравнениями в общем виде.

Составим систему и будем решать ее методом алгебраического сложения:

Обозначим

тогда

Выразим теперь у:

Обозначим

тогда

Перепишем систему в виде:

Проанализируем число решений системы в зависимости от ее коэффициентов.

1. Система имеет единственное решение

если

2. Система не имеет решений, если , но хотя бы одно из чисел  не равно 0.

3.      Система имеет бесчисленное множество решений, если 

С помощью метода алгебраического сложения исследована система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Ее специфика – наличие одного решения, бесчисленного множества решений или отсутствие решений.

Примеры на определение взаимного расположения прямых и числа решений системы

Задача.

Не выполняя построения, укажите взаимное расположение прямых и число решений системы.

1.  
Решение:
прямые параллельны, система решений не имеет.

2.   
Решение:
прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений.

3.  
Решение:
прямые параллельны, система решений не имеет.

4.  
Решение:
прямые пересекаются, система имеет одно решение.

Заключение

Итак, мы рассмотрели серию задач по теме «Уравнение прямой», повторили случаи взаимного расположения прямых, в частности, важные факты, которые заключаются в том, что система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет одно решение, бесчисленное множество решений либо решений не имеет.

На следующем уроке уравнение прямой будет использовано в сочетании с уравнением окружности.

 

Список литературы 

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
  3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. E-science.ru (Источник).
  2. E-science.ru (Источник).
  3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 1003–1005.