Классы
Предметы

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах

На данном уроке мы рассмотрим технику выполнения действий над векторами в координатах. Мы сформулируем и докажем теоремы, рассмотрим конкретные примеры.

Напоминание предыдущего материала

Ранее для выполнения действий с векторами мы применяли правило треугольника, правило параллелограмма, сжимали или растягивали вектор. Теперь мы научимся выполнять действия над векторами в координатах.

Пример

Даны векторы , ,  (см. рис. 1).

Рис. 1. Задача о сложении векторов

Найти:

Решение

Из произвольной точки  строим вектор . Далее из конца вектора  строим вектор , он сонаправлен вектору , а длина в два раза больше. Теперь из конца вектора  строим вектор , он противоположно направлен вектору , а длина в 4 раза больше. Теперь соединяем точку  и конец вектора  – получен ответ, вектор  (см. рис. 2).

Рис. 2. Решение задачи

Пусть заданы два неколлинеарных вектора. Будучи отложены из одной точки, они задают косоугольную систему координат (см. рис. 3).

Рис. 3. Косоугольная система координат

Любой третий вектор однозначно выражается через векторы , :

Пара чисел  однозначно задает вектор – это и есть его координаты: .

Сложение векторов в координатах

Теорема

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Дано:; .

Доказать:.

Доказательство

В системе координат относительно векторов ,  имеем:

;

Тогда сумма:

Что и требовалось доказать: .

Умножение вектора на число в координатах

Теорема

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Дано:.

Доказать:.

Доказательство

В системе координат относительно векторов ,  имеем:

Умножим обе части равенства на число :

Что и требовалось доказать: .

Вычитание векторов в координатах

Рассмотрим разность векторов.

Дано: ; .

Координаты вектора  определяем как координаты вектора, умноженного на число:

Тогда разность векторов:

Решение примеров

Пример

Доказать, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

Решение

Дано: ; , .

Доказать: ; .

По определению коллинеарных векторов векторы  и  лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В таком случае вектор  можно получить из вектора  умножением на некоторое число:

 по условию;  по правилу умножения вектора на число.

Равные векторы имеют равные координаты, отсюда:

;

Что и требовалось доказать.

Пример

; ; ;

Найти попарно коллинеарные векторы.

Решение

Очевидно, что нужно искать пропорциональные координаты. Рассмотрим первый и третий векторы:

Получено верное равенство, следовательно, векторы коллинеарны: .

Рассмотрим второй и четвертый векторы:

Также получено истинное выражение, а значит, векторы коллинеарны: .

Ответ:; .

Вывод

Итак, мы научились складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число в координатах.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)

2. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)

3. Интернет-сайт edu.dvgups.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Вектор  с началом в точке  имеет координаты . Найдите сумму координат точки .

2. Заданы векторы  и . Найти координаты вектора .

3. Даны векторы  и . Найти векторы ; .

4.Даны векторы ,  и . Найти   и