Классы
Предметы

Уравнение прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Уравнение прямой

На прошлых уроках мы вывели уравнение окружности и решали задачи с применением уравнения окружности. На этом уроке мы выведем уравнение прямой, рассмотрим частные случаи такого уравнения. Кроме того, решим типовые задачи на определение уравнения прямой и задачу из ЕГЭ по математике.

Выведение уравнения прямой

Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.

Рис. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку

Пусть  – это произвольная точка на прямой  (см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку  (точка  имеет координаты , точка  имеет координаты ). Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

 - это равенство и есть уравнением прямой.

Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:

 

 

 

Введем новые обозначения:

 

 

 

Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:

 

Уравнение вертикальной прямой

 

  уравнение вертикальной прямой

На рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 2. Вертикальные прямые

Уравнение горизонтальной прямой

 

  уравнение горизонтальной прямой

На рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 3. Горизонтальные прямые

Уравнение наклонной прямой к оси  ()

 

 

 

Введем новые обозначения:

 

 

Таким образом, уравнение наклонной к оси  прямой выглядит следующим образом:

, где

 – угловой коэффициент (если , то функция возрастает, если  – убывает);

 – ордината точки пересечения прямой с осью .

Примеры

1. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает ось в точке с координатами  (см. Рис. 4). 

Рис. 4. Прямая

2. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает ось  в точке с координатами  (см. Рис. 5). 

 

Рис. 5. Прямая

Условия параллельности и перпендикулярности наклонных прямых

Даны две прямые:

 

 

1. Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:

 

То есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси , но проходить через разные точки на оси .

2. Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

Дана точка  с координатами . Уравнение наклонной прямой: , следовательно, условие того, что точка  лежит на прямой, – это .

 

 – уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку .

Задавая коэффициент , можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.

Задача 1

Дано: прямая ; точка .

Найти: а) уравнение прямой, которая проходит через точку  и параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через точку  и перпендикулярна заданной прямой.

Решение

Все наклонные прямые, которые проходят через точку , имеют уравнение:

 

1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точку  и параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент . Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:

 

 

 

2. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно . Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной, равен:

 

 

Подставляем данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку :

 

 

Ответ: а) ; б)  .

Задача 2

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение прямой  и точки ее пересечения с осями координат.

Решение

Уравнение прямой имеет вид:

 

Необходимо определить числа , , . Подставим координаты точек  и  в уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:

 

Решим эту систему, выразив  и  через :

 

 

 

 

Подставим это значение в равенство:

 

 

Найденные значения  и  подставляем в общее выражение прямой:

 

При  разделим это выражение на  и умножим на :

 

Мы получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки ( и ). Запишем это уравнение в таком виде:

 

Это уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициент  и пересекает ось  в точке с координатой  (на рисунке 6 точка ).

Определим координаты точки пересечения прямой с осью , для этого приравняем к нулю :

 

 

 

Следовательно, координаты точки пересечения прямой с осью  –  (на рисунке 6 точка ).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: ; ; .

Задача 3

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть  (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку . Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

 

Подставим в данное равенство соответствующие координаты:

 

 

 

Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:

 

Ответ: .


Уравнение прямой в отрезках

Пусть  – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси  и  в точках  и . Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:

 

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае отрезок , а отрезок .

Выведем данное уравнение.

Дано: точка ; точка ; ,  (прямая не пересекает начало координат) (см. Рис. 8).

Требуется: вывести уравнение прямой .

Решение

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Прямая  – это наклонная прямая, следовательно, ее уравнение записывается в виде .

Необходимо найти коэффициент  и свободный член . Для этого подставляем координаты точек  и , лежащих на прямой, в уравнение наклонной прямой:

  

 

 

Подставляем полученные значения в уравнение наклонной прямой:

 

Обе части уравнения умножаем на :

 

 

Обе части уравнения делим на произведение :

 

 

Мы получили уравнение прямой в отрезках:  

Пример

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение прямой .

Решение

Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:

 

В данном случае: ; . Подставляем эти значения в уравнение:

 

Ответ: .


Задача типа С5 из ЕГЭ по математике

Найдите значение параметра , при котором система неравенств имеет единственное решение.

 

Решение

1. Рассмотрим первое неравенство.

Неравенство  задает круг с центром в точке  и радиуса  (см. Рис. 9).

Координаты точки  зависят от параметра: .

Радиус  также зависит от параметра: .

Обе части этого неравенства неотрицательны, следовательно, его можно возвести в квадрат:

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

2. Рассмотрим второе неравенство.

Неравенство  задает полуплоскость под прямой , так как:

 

 

 

Эта полуплоскость фиксированна, не зависит от параметра .

3. Необходимо расположить круг так, чтобы он находился над прямой и касался ее. Общая точка прямой и окружности находится из системы:

 

Подставим значение  в первое уравнение:

 

Сделаем замену:

 

 

Тогда:

 

 

 

Нам требуется единственность решения данного уравнения, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю.

 

 

Так как , то:

 

 

 

 

 

Выполним проверку этих значений параметра .

а) Если , то координаты центра окружности равны . Подставим координату  в уравнение прямой и сравним получившееся значение  со второй координатой центра окружности:

 

 

Следовательно, точка  лежит над прямой , и значение  нам подходит.

б) Можно выполнить проверку другим способом.

Если , то координаты центра окружности равны .

Подставим значения  и в неравенство :

 

 – неверно, следовательно, точка  также не лежит в полуплоскости, задаваемой неравенством .

Таким образом, искомые значения параметра равны: , .

Ответ: , .


Уравнение прямой, проходящей через две точки. Первый способ вывода

Ранее мы вывели общее уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Выведем уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки.

Дано: точки  и  на наклонной прямой  (см. Рис. 10).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 10. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Выберем произвольную точку , находящуюся на прямой . Вектор  коллинеарен вектору  (см. Рис. 10), следовательно:

 

В координатном виде это выглядит следующим образом:

 

Векторное равенство дает систему из двух уравнений:

 

 

Это и есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, при .

Ответ: .

Если , то это вертикальная прямая.

Если , то это горизонтальная прямая.

Пример

Даны две точки , . Написать уравнение наклонной прямой, проходящей через эти точки.

Решение

Уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, в общем виде выглядит следующем образом:

 

Подставляем значение координат данных в условии точек в уравнение:

 

 

 

 

В итоге мы получили уравнение прямой в отрезках.


Уравнение прямой, проходящей через две точки. Второй способ вывода

Дано: точки  и  на наклонной прямой  (см. Рис. 11).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:

 

Получаем систему уравнений:

 

Вычтем из первого уравнения второе:

 

Необходимо найти , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:

 

Вычтем из первого уравнения второе:

 

 

Следовательно:

 

 

Ответ: , где  и .

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)

2. Интернет-сайт mathelp.spb.ru (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задачи 972, 977, 982 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9 (Источник)

2. Докажите, что прямые, заданные уравнениями  и , параллельны.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки , .