Классы
Предметы

Четырёхугольники

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Четырёхугольники

На этом уроке мы повторим все известные опорные факты о четырехугольниках.
Вначале вспомним формулу площади выпуклого четырехугольника и формулу произведения площадей в четырехугольнике. И рассмотрим эти формулы для трапеции и параллелограмма.
Далее вспомним определение параллелограмма и его свойства и признаки. И рассмотрим частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб и квадрат.
В конце урока решим задачу на нахождение периметра параллелограмма.

Тема: Повторение

Урок: Четырехугольники. Треугольники 

1. Введение

На этом уроке мы повторим известные опорные факты о четырехугольниках и треугольниках.

Вначале вспомним формулу площади выпуклого четырехугольника и формулу произведения площадей в четырехугольнике и рассмотрим эти формулы для трапеции и параллелограмма.

Далее вспомним определение параллелограмма, его свойства и признаки. И рассмотрим частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб и квадрат.

Наконец, вспомним некоторые сведения о треугольниках, а именно: теорему синусов и теорему косинусов. А также дадим формулы для вычисления радиусов и описанной вокруг треугольника окружности.

В конце урока решим задачу на нахождение периметра параллелограмма.

2. Опорные факты

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех отрезков, последовательно их соединяющих; причем никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а отрезки, их соединяющие, не пересекаются.

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно прямой, на которой лежит его сторона.

Рассмотрим такие свойства четырехугольника:

1. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, т.е.

Напомним, что углом между прямыми называется меньший из вертикальных углов, которые образуются при пересечении. А также верна формула  (см. рис.1).

  

 Рис. 1.

2. , поскольку верным является следующее равенство  (см. рис.2)

   

Рис. 2.

3. Трапеция

Вспомним основные виды четырехугольников, изучаемые в 8 классе, и их свойства.

1. Трапеция.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Из перечисленных выше свойств четырехугольников следует:

а) площадь трапеции может быть найдена по формуле , а также по ранее доказанной формуле: , где h – высота трапеции;

б) площади треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции, равны, т.е. . Это следует из того, что и , а поскольку , то .

в) .

  

Рис. 3.

4. Параллелограмм

2. Параллелограмм.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны (и ).

Из перечисленных фактов для четырехугольников следует:

а) площадь параллелограмма может быть найдена по формуле ;

б) площади треугольников, образованных при пересечении диагоналей параллелограмма, равны, т.е. .

Это свойство обусловлено, что площадь каждого из четырех треугольников вычисляется по формуле  (см. рис. 4).

  

Рис. 4.

Для параллелограмма справедливыми являются следующие свойства (см. рис. 5):

а) у параллелограмма противолежащие углы равны ;

б) у параллелограмма противолежащие стороны равны .

в) диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пресечения делятся пополам ;

г) Сумма углов, прилегающих к одной стороне параллелограмма равна 1800, например,.  

 

   

Рис. 5.

Сформулируем признаки параллелограмма, т.е. те условия, при выполнении которых четырехугольник будет параллелограммом.

а) Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм (если и , то ABCD – параллелограмм).

б) Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, такой четырехугольник – параллелограмм (если и , то ABCD – параллелограмм).

в) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм (если , то ABCD – параллелограмм).

5. Прямоугольник, ромб, квадрат

3. Частные случаи параллелограмма.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника задается следующим образом: диагонали прямоугольника равны (см. рис.6).

 

Рис. 6.

Кроме этого, следует отметить, что вокруг прямоугольника можно описать окружность.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны (см. рис. 7). Вспомним свойства ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Кроме этого, следует отметить, что в ромб можно вписать окружность.

 

Рис. 7.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является также частным случаем ромба.

Свойства квадрата.

У квадрата все углы прямые.

Диагонали квадрата равны.

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

6. Треугольник

Из всего множества свойств треугольников перечислим два (см. рис. 8):

 Рис. 8.

Теорема косинусов (обобщение теоремы Пифагора для произвольного треугольника). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними

().

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. .

Из теоремы синусов следует, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника .

Полезно вспомнить, что радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить еще и так: .

7. Разбор задачи

В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК, которая делит сторону ВС на отрезки ВК=m и KC=n. Найти периметр параллелограмма ABCD. См. рис. 9.

Рис. 9.

Решение.

Поскольку стороны AD и BC параллельны, то как внутренние накрест лежащие. Тогда  - равнобедренный (). Из свойств параллелограмма следует что  и . Тогда .

Ответ: .