Классы
Предметы

Формулы для вычисления координат точки

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Формулы для вычисления координат точки

На этом уроке мы выведем формулы для определения координат точки с помощью понятий синуса и косинуса.
Вначале решим типовую задачу на данную тему и на ее примере рассмотрим, как выражаются координаты точки через длину отрезка и угол. Далее выразим координаты вектора и точки через произведение тригонометрических функций и длины отрезка и проанализируем знаки полученных координат.
На примере типовой задачи решим несколько конкретных задач на нахождение координат точки через синус и косинус угла.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Тема: Синус, косинус и тангенс угла

Урок: Формулы для вычисления координат точки

 

1. Введение

Соответствующая задача звучит просто: определение координат точки А, расположенной в верхней координатной полуплоскости (Рис. 1).

Рис. 1.

Координаты точки А определяются двумя величинами: длиной отрезка ОА и Ðα = ÐВОА (Рис. 2). Координаты точки А (х; у) следует вычислить через длину ОА и некоторую функцию от Ðα.

Рис. 2.

Мы знаем, что Ðα задает координаты, соответствующие точке М на единичной полуокружности, а значит, и координаты вектора ОМ.

Рис. 3.

Действительно, луч ОА высекает единственную точку на окружности М (Рис. 3). Ее координаты на окружности М (хм; ум) таковы, что первая из них есть cos α,  а вторая – sin α. Координаты вектора ОМ совпадают с координатами точки М. Напомним, нам нужны координаты точки А.

Осталось выразить координаты вектора ОА и координаты точки А через координаты вектора ОМ (Рис. 4)

Рис. 4.

Замечаем, что  и   – коллинеарные. Кроме того, ОМ = 1.

Что это означает? Это означает, что  получается из , если последний умножить на длину отрезка ОА: .  (Как мы знаем, любой вектор, коллинеарный данному, может быть получен из данного путем умножения на число.)

Но координаты точки А (хА; уА) и координаты  (,) совпадают, следовательно .

Задача решена.

Теперь проанализируем знаки координат точки А.

Эти координаты зависят от двух величин. Во-первых, от расстояния до точки О эта величина всегда неотрицательна. Во-вторых, от синуса и косинуса.

Вспомним знаки синуса и косинуса.

Если мы имеем Ðα, ему соответствует единственная точка М на единичной полуокружности. Абсцисса точки М даст косинус Ðα, а ордината точки даст синус Ðα.

Из этих определений вытекает, что если Ðα меняется в пределах [0°; 180°], то  – величина неотрицательная и меняется в пределах от [0; 1].

 меняется в пределах [–1; 1], т. е. может быть как положительным, так и отрицательным. Он является положительным, когда угол меняется в пределах [0; 90°]. И косинус отрицателен, если угол меняется в пределах [90°; 180°].

Значит, правила таковы:

1. , т. к.   Î [0; 1], если α Î [0°;180°].

2.  при α Î [0°; 90°], т. к. в этом случае  Î [0; 1].

3.  при α Î [90°; 180°], т. к. в этом случае  Î [-1; 0].

Таким образом, мы вывели формулы для координат точки А и проанализировали знаки этих координат.

Теперь решим типовые задачи на использование полученных формул.

Задача 1. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α.

Найдите координаты точки А, если ОА = 3, α  =  45°.

Рис. 5.

Решение. 

Обратимся к Рис. 5. 

На этом рисунке изображена точка А и показаны ее координаты. Применяя полученные ранее формулы, запишем:  = ,  = . Задача решена.

 

 

Рис. 6.

Вторая задача отличается от первой лишь месторасположением точки А (Рис. 6)

Задача 2. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки А, если ОА =1,5, α  =  90°.

Решение.

После того как будет сделан Рис. 6, решение становится очевидным: координаты точки А  это (0; 1,5).

Но тем не менее воспользуемся выведенными формулами.

 = ,  = .

Задача 3. В следующей 3 задаче точка А расположена следующим образом:

нам дано, что ОА = 5; α = 150°. Следует найти координаты точки.

Решение. Для наглядности изобразим Рис. 7.

Рис. 7.

Для решения снова воспользуемся полученными формулами:  =  =  = ,  =  =  = . Здесь мы воспользовались формулами приведения.

Рис. 8.

В следующей задаче (Рис. 8) точка А лежит на оси х.

Задача 4. Найдите координаты точки А, если ОА = 1; α = 180°.

В общем-то, решение очевидно: А (–1; 0), но важно вспомнить основные формулы, а в них присутствуют синус и косинус 180°.

 =

 = 0.

Рис. 9.

Последняя задача: α = 30°; ОА = 2. Рис. 9 поясняет сказанное. Найти  координаты точки А.

Решение.

Согласно общим формулам,

 =

 = 1.

Мы вывели формулы для определения координат точки, при этом использовали и синус, и косинус угла.

На следующем уроке мы повторим эти понятия и решим некоторые задачи.

 

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Твой личный наставник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 252, глава 11, параграф 1, пункт 95.