Классы
Предметы

Скалярное произведение векторов

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Скалярное произведение векторов

На этом уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов и некоторые задачи с его участием.
Вначале вспомним основные сведения про вектор: определение вектора, операции с вектором и угол между векторами. Далее рассмотрим формулу скалярного произведения векторов и рассмотрим важный частный случай перпендикулярных векторов и их скалярное произведение. С помощью формулы скалярного произведения рассмотрим еще два важных частных случая коллинеарных векторов: сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы. Дадим определение скалярного квадрата и свойство скалярного квадрата, о равенстве скалярного квадрата квадрату его длины.
В конце решим несколько задач по пройденной теме.

Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов

Урок: Скалярное произведение векторов

1. Тема урока, введение

Тема урока: «Скалярное произведение векторов». На этом уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов и решим задачи на вычисление скалярного произведения.

2. Напоминание основных сведений о векторах

Напомним кратко основные сведения, которые мы знаем о векторах.

1.  Определение. Вектор – это направленный отрезок, обозначение 

2.  Операции с векторами.

а)   Сложение векторов.

Правило параллелограмма.

Правило треугольника.

б)   Умножение вектора на число.

3. Угол между векторами.

4. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Заметим, что  – это проекция вектора  на направление вектора  . Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.

 

3. Анализ формулы скалярного произведения векторов

Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения векторов.

1.  Перпендикулярные векторы.

Если , то   и  .

Сила в направлении  не совершает никакой работы, скалярное произведение Обратно: если , то   в силу равенства .

Получаем следующий важный вывод: Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

2. Коллинеарные векторы.

Рассмотрим коллинеарные векторы: они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

а) Сонаправленные векторы.

, поэтому Таким образом,

б) Противоположно направленные векторы.

, поэтому  

Таким образом,

3. Равные векторы. Рассмотрим случай, когда

Определение: Скалярное произведение  называется скалярным квадратом вектора и обозначается  . Свойство: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины,  .

4. Решение задач на вычисление скалярного произведения векторов

Следует научиться вычислять скалярное произведение векторов не только в частных, но и в общих случаях. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Вычислить скалярное произведение векторов  и  , если  , угол между ними равен:

а)    

б)   

в)  

 

а) Дано:

Найти: Решение: Ответ:

б)  Дано:

Найти: Решение: или  Ответ: 0.

в) Дано:

Найти:

Решение:Ответ:

 

5. Вычисление скалярного произведения векторов в геометрических задачах

Векторы часто присутствуют и в различных геометрических фигурах. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота  BD. Вычислить скалярное произведение векторов:

а)                       

б)  

в)  

г)  

Решение:

а)   Ответ:

б) Для определения угла между векторами отложим вектор  от точки

. Ответ: .

в)    Ответ: 0.

г)   Ответ:

 

6. Вычисление скалярного произведения векторов в физической задаче

Задача. К одной и той же точке приложены две силы  и  , действующие под углом  друг к другу, причем . Найти величину равнодействующей силы  .

Дано:

Найти: .

Решение:

Ответ:

7. Заключение

Итак, мы рассмотрели разные задачи на вычисление скалярного произведения векторов. На следующем уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов в координатах.

 

Список литературы

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
  3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. E-science.ru (Источник).
  2. Mathematics.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1041, 1042.