Классы
Предметы

Решение задач по теме раздела

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач по теме раздела

На этом уроке мы повторим теорию и рассмотрим серию типовых задач.
Вначале вспомним теорему о площади и теоремы синусов и косинусов для произвольного треугольника. Повторим определения синуса и косинуса на единичной полуокружности и нахождение координат точки через синус и косинус.
Далее будем решать типовые задачи в треугольнике и параллелограмме.

Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.

InternetUrok.ru

 

 

 

Геометрия. 9 класс
 
Глава 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов
 
Раздел 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
 
Урок 8. Решение задач по теме раздела
 
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст. преподаватель фак-та
довузовской подготовки МИТХТ
 
15.11.2010 г.
 
Соотношение между сторонами и углами - теорема о площади треугольника, теорема косинусов, теорема косинусов
 
Здравствуйте.
Тема урока – «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Здесь мы кратко повторим теорию и рассмотрим серию типовых задач, нам поможет теорема о площади треугольника.
 
Повторение теории начнем с перечня основных теорем.
Вот треугольник АВС, стандартные обозначения: вершина А, угол a, сторона а; вершина В, b, в; и третья вершина С, угол g, противолежащая сторона с. Стандартные обозначения.
 
В этих обозначениях следующие теоремы являются основными.
1) S=
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Формула площади через синус угла.
 
Далее очень важная теорема синусов и следствие из нее.
2)
 
а относится к синусу противолежащего угла a так же, как в относится к синусу противолежащего угла b так же, как с относится к синусу своего противолежащего угла g. В этом суть теоремы синусов. И далее есть очень важное следствие. Все эти отношения равны 2R, где R – это радиус описанной окружности. Это удивительное следствие. Чтобы найти радиус, оказывается, достаточно знать сторону и синус противолежащего угла.
 
И, наконец, теорема косинусов.
Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Применительно к с имеем:
3) с2=а2+в2-2а.в. 
 
Таковы основные теоремы.
В основных теоремах фигурирует синус и косинус угла треугольника.
Но угол треугольника может быть тупым.
Поэтому напомним определение синуса и косинуса для угла aÎ[0º;180º]
 
Сначала имеем общий рисунок, на котором имеется полуокружность, радиус 1, угол a, острый для начала, точка М соответствует этому углу.
У точки М есть две координаты (хa; уa), так как они зависят от угла a, им мы подставили индекс a.
Можно дать два определения синуса.
 
Треугольник прямоугольный, гипотенуза 1, синусом угла называется отношение катета, противолежащего к гипотенузе. То есть это уa=, т.е. ордината.
Косинусом называется отношение катета, прилежащего к гипотенузе, т.е. , т.е. это абсцисса точки М.
 
Итак, либо это отношение катета к гипотенузе, либо это ордината и абсцисса точки.
 
А теперь давайте возьмем тупой угол. Но, тем не менее, есть точка М.
У нее есть две координаты, есть абсцисса, ордината.
По второму определению будем считать, что , т.е. абсцисса точки, а , т.е. ордината точки. Таким образом, распространили синус и косинус для любого угла от [0º;180º].
С помощью этого понятия мы можем любую точку А зафиксировать своими координатами (хА; уА).
 
А именно, хА=ОА.
                  уА=ОА.  
 
Таким образом, мы рассмотрели синус и косинус для любого угла от [0º;180º], вспомнили эти определения.
 
После сделанных напоминаний приступим к решению конкретных задач.
 
Задача 1
Дано:
В ?АВС АВ=8см, прилежащий ÐА=30º, другой прилежащий ÐВ=45º.
Требуется: решить этот треугольник, т.е. найти остальные углы и стороны, а именно, ÐС, сторону АС, которую мы обозначили как в, сторону ВС, которую обозначили как а. Стандартные обозначения здесь сохраняются.
 
Итак, дано, требуется найти и вот решение.
 
Треугольник полностью задан. Известна сторона и два прилежащих угла.
 
Решение:
После того, как мы найдем ÐС, все углы будут известны, а
1) ÐС=180º-(30º+45º)=105º
Все углы известны. Можно использовать теорему синусов.
 
2) ; получили уравнение относительно а, решаем его
 
     а = (подробнее в видеоматериале)
Таков синус 105º. Он примерно равен 1, если грубо округлять, то получим 4см. Итак, одна сторона найдена.
 
Дальше снова по теореме синусов можно найти сторону в.
3)      в =(подробнее в видеоматериале)
 
Дальше все-таки мы покажем, как можно находить синус 105º.
 
Это косинус 15º. Это небольшой угол, его величина почти 1.
 
Ответ: ÐС=105º, АС≈6см., ВС≈4см. Задача решена.
 
Треугольники входят в состав многих фигур, например, трапеций, параллелограммов. Поэтому решение треугольников позволяет решать задачи с этими фигурами. Проиллюстрируем сказанное следующей задачей.
 
Задача 2
 
Смежные стороны параллелограмма равны а и в, один из углов равен g.
Найдите диагонали параллелограмма.
 
Вот параллелограмм, вот его диагонали, стороны а и в, угол g между ними, т.е. треугольник АВД задан полностью. Стало быть, и параллелограмм задан полностью. Конкретно в параллелограмме известно:
 
Дано:
АВСД – параллелограмм
АВ=в, АД=а, ÐВАД=g
 
Найти: одну диагональ ВД, вторую диагональ АС.
Решение:
1) ВД2=а2+в2-2ав
2) АС2=а2+в2-2ав а2+в2+2ав
 
Решение данной задачи для параллелограмма полностью основано на теореме косинусов для треугольника.
 
Диагональ ВД входит в треугольник АВД. В этом треугольнике, как мы говорили, известны две стороны и угол между ними. Значит, квадрат стороны ВД2 – сумма квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними ВД2=а2+в2-2ав
Квадрат известен, стало быть, и само ВД известно ВД=Ö а2+в2-2ав
Часть ответа есть, одна диагональ найдена из первого треугольника.
 
Вторая диагональ АС входит в треугольник АСД. Используем свойство параллелограмма. Если это сторона в, то эта сторона тоже в. Противоположные стороны параллелограмма равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180º. Стало быть, если это угол g, угол при вершине Д=180º-g
 
Сразу заметим, что
 
После этих замечаний применяем теорему косинусов для треугольника АСД АС2=а2+в2-2ав
Учитываем знак, получаем а2+в2+2ав
Квадрат диагонали известен, значит, АС=Ö а2+в2+2ав
Задача решена.
 
Теорема косинусов для треугольника позволяет вывести важное метрическое свойство для параллелограмма.
Формулировка задачи.
 
Задача
Докажите: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
 
Дано:
АВСД – параллелограмм
d1, d2 – его диагонали, а, в – стороны. Один угол g, следовательно, другой угол 180º-g
 
Требуется доказать:d12+d22=2(а2+в2)
Почему 2?
Потому что а2 и а2=2а2; в2 и в2=2в2
То есть сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.
 
Доказательство:
d1 найдем из треугольника АВД, т.е. выпишем теорему косинусов для этого треугольника.
d2 найдем из треугольника АДС, для нее выпишем теорему косинусов.
Выписываем
+
Минус на минус уничтожается, складываем два равенства
d12+ d22=2(а2+в2), а эти члены уничтожаются.
Задача решена. Свойство доказано.
 
Мы видели, что свойство треугольника позволяет решать задачи для параллелограмма. И даже устанавливает свойство параллелограмма.
В следующей задаче, как мы увидим, наоборот.
Теперь выведенное свойство параллелограмма позволяет решать задачи для треугольника. Формулировка задачи.
 
Задача
Найти медиану АА1 треугольника АВС, если АВ=с, ВС=а, СА=в
Итак, есть треугольник, стандартные обозначения сторон: а против вершины А; в против вершины В; с против вершины С.
А1 – середина ВС, АА1 –медиана ma, таково ее обозначение.
Даны три стороны, найти медиану.
 
Важный методический прием, который можно выразить следующими словами. Медиана любит, чтобы ее продлили до параллелограмма.
Что это означает?
 
Это означает, что проведем А1Д= ma, получим точку Д и четырехугольник. Надо сначала доказать, что это параллелограмм, чтобы воспользоваться всем большим количеством свойств этого параллелограмма.
Доказываем, в этом четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, этот четырехугольник параллелограмм. А раз это параллелограмм, то воспользуемся свойством параллелограмма.
 
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон
 (2 ma)2+а2=2(в2+с2)
Получили уравнение для искомой медианы ma2=
В результате получаем ответ ma= 
Задача решена.
 
В следующей задаче используется теорема о площади треугольника.
 
Задача
Докажите:
1) Медиана рассекает треугольник на 2 равновеликих треугольника. Равновеликих, значит, имеющих одинаковую площадь, равную площадь.
2) Три медианы рассекают треугольник на 6 равновеликих треугольников.
 
Обсудим задачу. Треугольник АВС.
А1,В1,С1 – середины соответствующих сторон. Значит, имеем одну медиану, вторую медиану, третью медиану.
Мы будем считать известными опорные свойства, связанные с медианами.
А именно, все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2/1 считая от вершины. Это значит, АМ в 2 раза больше чем МА1 и т.д. все остальные.
Итак, что требуется доказать?
 
Доказать:
Площадь треугольника АА1В есть ½ от площади исходного треугольника АВС. А площадь треугольника МА1В есть 1/6 часть от площади исходного треугольника АВС.
 
Доказательство:
Рассмотрим треугольник АА1В и АА1С. Каждый из них имеет сторону , высота одна и та же тоже, высота h. Следовательно,
1) SАА1В =SАА1С= 
 – это площадь всего треугольника.
Значит, площадь каждого из этих треугольников есть половина площади исходного треугольника.
Итак, медиана рассекает треугольник на два равновеликих, и это понятно, почему. Потому что каждый из треугольников имеет одну и ту же высоту. Одно и то же основание.
 
2) Площадь маленького треугольника А1МВ. Мы возьмем, например, его.
Не важно, какой из 6 треугольников взять. Этот треугольник имеет угол j между сторонами  и , ma– это медиана.
Значит, площадь этого треугольника есть
После очевидных сокращений получаем, что отношение площадей есть .
Значит, площадь маленького треугольника
(подробнее в видеоматериале)
Значит, площадь маленького треугольника есть  часть от площади исходного треугольника. Задача решена.
 
Итак, мы кратко повторили теорию и применили ее для решения конкретных задач. На следующем уроке мы рассмотрим угол между векторами.