Классы
Предметы

Часть 3. Иррациональные числа. Выводы

Иррациональные числа

Рассмотрим еще одно числовое множество – множество иррациональных чисел (то есть нерациональных, тех, которые нельзя представить в виде дроби ). Как и другие числа, иррациональные числа – придуманный нами инструмент. Как он был изобретён?

В Древней Греции жил ученый Пифагор, имя которого мы хорошо знаем благодаря доказанной им теореме: «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы» (рис. 1).

Рис. 1. Теорема Пифагора

Пифагор изучал прямоугольные треугольники и, в частности, один из самых простых – равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны  (рис. 2).

Рис. 2. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом

Оказалось, что рациональных чисел недостаточно, чтобы выразить длину гипотенузы такого треугольника. То есть её нельзя представить в виде дроби вида , где  и  – целые, . Таким образом, возникла необходимость в создании нового инструмента – иррациональных чисел. В частности, для обозначения рассматриваемой длины гипотенузы ввели обозначение  (число, квадрат которого в точности равен ).

Почему возникли иррациональные числа?

Одно из возможных объяснений открытия, сделанного Пифагором, связано со строем общества в те времена. Так как общество было рабовладельческим, практическими вещами занимались только рабы, а люди из верхнего культурного слоя (в современных формулировках – интеллигенция) не задумывались о практическом использовании чисел. Они рассматривали число как некую философскую сущность.

Для человека, занимающегося практической деятельностью, нет ничего страшного в том, что длину гипотенузы нельзя точно измерить. Ведь на практике абсолютно точных измерений не бывает – нам всегда достаточно какой-то точности. В большинстве случаев длину можно было считать приблизительно равной  или . Точное значение  нужно только в абстрактной идеальной модели, которой в реальной жизни не существует.

Как и любая система знаков, числа ограничены в применении. Например, с помощью алфавита можно записать многие звуки, и все их прочитают одинаково (Ау-у-у-у!) (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

А есть такие звуки, которые явно не запишешь, тогда их так и называют, например, «скрип тормозов».

Аналогично придуман знак , который означает длину гипотенузы треугольника, катеты которого равны  (или число, квадрат которого равен ). В точности (с помощью  цифр и знаков арифметических действий) мы его записать не сможем, но это и не нужно, ведь для практических целей нам всегда будет достаточно приблизительного значения.

Зачем нужны иррациональные числа?

Мы сказали, что все вычисления производятся с заданной точностью, тогда введение нового числа  кажется необязательным. Но есть задачи, где  является не конечным результатом, а промежуточным. Например, если мы извлекали корень, а потом возвели в квадрат, то абсолютно точный результат: . А вот если вместо корня из двух взять любое его приближение, то  при возведении в квадрат мы уже не получим:

С увеличением точности результат будет все ближе к , но в точности  равняться не будет.

То есть  – это новый знак, в котором содержится потенциально любая точность, которая нам может понадобиться при решении той или иной конкретной задачи.

Итоги

Иррациональные числа – это еще один удобный инструмент для решения задач. Таких чисел много: например, число , ,  и т.д. Ни одно из таких чисел нельзя представить в виде дроби , где  и  – целые, . Вместе с рациональными эти числа образуют еще одно числовое множество – множество действительных (вещественных) чисел.

С помощью  цифр мы можем записать любое натуральное число. Используя знаки действий, мы расширили множество натуральных чисел: отрицательные числа получились с использованием действия «вычитание» ( – означает отнимать ); рациональные числа получились с использованием действия «деление» ( – означает  поделить на ).

Зачем расширяют множества? Чтобы, выполняя арифметические операции, оставаться внутри этого множества (такое свойство множеств называется замкнутостью). Действительно, расширив множество натуральных чисел до множества целых чисел, мы получили множество, замкнутое относительно операций сложения и вычитания. Аналогично множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырёх арифметических операций.

При переходе от рациональных чисел к действительным мы расширяем множество уже не для замкнутости множества относительно основных арифметических операций.

Однако заметим следующее: иррациональное число можно приблизить как угодно точно рациональным числом. Например,  можно приблизить числом , если нужно точнее, то можно записать  и т.д.

То есть можно сказать, что переход к новым множествам – это способ увеличения точности. Например, когда мы говорили о натуральных числах, между  и  не было промежуточных значений: если мой рост больше  метра, но меньше  метров, то нужно либо ввести новую единицу измерения, либо расширить множество. Когда мы говорим о множестве действительных чисел, мы можем говорить об измерениях с абсолютной точностью.

 

Ссылки на материалы InternetUrok.ru

  1. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора
  2. Почему важна теорема Пифагора?
  3. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Основные сведения
  4. Арифметический квадратный корень
  5. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Решение задач
  6. Иррациональные числа
  7. Действительные числа