Классы
Предметы

Десятичные дроби и проценты

Десятичные дроби

Вспомним, что такое дробь. Дробь – это часть чего-то. Например, если у нас есть  литр молока, то половина – это пол-литра, то есть  (Рис. 1).

Рис. 1. Литр и пол-литра молока

Другой пример: если разделить торт на  равных частей, то  части – это  торта (Рис. 2).

Рис. 2.  торта

То есть числитель (то, что написано над чертой дроби) указывает на количество взятых частей, а знаменатель (то, что написано под чертой дроби) указывает, на сколько частей мы делили объект.

Мы уже говорили, что дроби – это условное понятие. Так как то, что выражается дробным числом, при другом подходе может быть выражено целым числом. Например, четверть метра ( метра) – это то же самое, что  см. В жизни мы тоже один и тот же объект можем называть разными словами. Например, для кого-то данный человек Иван Иванович, а для другого – Ванечка, а для кого-то – главный бухгалтер (Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

В математике тоже используют эквивалентные формы записи одного и того же объекта. Например, число  можно представить (записать) разными способами (Рис. 4).

Рис. 4. Представления числа 12

Рассмотрим еще один пример. Пусть путь до школы составляет  кварталов, тогда половина пути –  квартала (при условии, что они одинаковые). С другой стороны, мы идем до школы  минут, тогда половину пути мы пройдем за  минут. Или путь можно посчитать в шагах, если путь до школы  шагов, то половина пути –  шагов (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

То есть . Мы одну и ту же вещь – половину пути – обозначили по-разному (эквивалентные записи). Каждая форма записи может быть удобной в определенной ситуации.

Предположим, нам необходимо сравнить успеваемость учеников двух школ. Мы знаем, что в первой –  хорошист, а во второй –  хорошистов, всего детей в первой школе – , а во второй – . Какая школа лучше? Во второй школе больше детей, которые учатся хорошо, но и детей в этой школе больше. Для решения этой задачи нужно сравнить  и . Для этого, как мы знаем, нужно привести дроби к общему знаменателю, что при больших числах является трудоемкой задачей. А если представить, что сравниваются не две школы, а больше, то задача становится еще сложнее. Поэтому в таком случае удобно использовать десятичные дроби. Запишем дроби так:

Сравнение происходит намного легче. Ведь сравнение десятичных дробей выполняется поразрядно. Сразу видно, что вторая школа лучше.

Связь обыкновенных и десятичных дробей

Теперь рассмотрим то, как связаны десятичные и обыкновенные дроби. Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Например, представим, что  человека идут в поход и нужно поровну распределить между ними  кг муки, то есть  нужно разделить на .

Для этого мы можем перейти к другим единицам измерения,  кг – это  г. , в килограммах это приблизительно . То есть . Предположим, нужно было делить еще точнее, тогда мы могли представить  кг в миллиграммах,  мг. . В килограммах это приблизительно . . Так можно увеличивать точность расчетов сколько угодно. Эта идея заложена в общем алгоритме письменного деления чисел в столбик. Когда нам нужно  поделить на , мы выполняем деление в столбик, если все разряды числа использованы, то мы продолжаем деление, дописывая нуль.

Основная идея десятичной дроби состоит в том, что это – удобная форма записи для дробей, знаменатели которых , ,  и т.д. В десятичной форме записи верно такое разложение: . После обобщения понятия степени вы узнаете, что , ;  и т.д. Тогда можно будет любое число, записанное в десятичной форме, представить в виде суммы аналогично тому, как мы делали это для натуральных чисел. Например, .

Помимо облегчения выполнения сравнения, десятичные дроби имеют преимущество в арифметических операциях, так как на них можно обобщить существующие алгоритмы работы с натуральными числами, записанными в десятичной записи (сложение, умножение в столбик, деление в столбик и т.д.).

То есть десятичная запись – это некий стандарт в математике. Примером стандартизации может служить болт и гайка. Раньше каждая мастерская изготавливала болты и гайки разных размеров, что вызывало неудобство. Но потом ввели стандарты, и их использование значительно упростилось. Теперь в механизме могут использоваться только определенные болты и гайки. Так и в механизме счета пришли к удобному стандарту – десятичным дробям.

Проценты

Для сотых частей вводится отдельное название – процент.  – одна сотая. Вернемся к примеру со школами: соотношение количества хорошистов в первой школе к общему количеству детей – , а во второй – . В таком виде сравнение выполняется легко: . Но для сравнения нам бы хватило и меньшей точности. Обычно в таких случаях вычисления округляют до сотых:  и . Эти сотые доли и называют процентами,  – это , а  – .

Так как один процент – это одна сотая,  процентов – это сто сотых, то есть , все целое. Половина – . Наверное, каждый в жизни сталкивался с процентами, например, скидки в магазине . Проценты – это другое название одного из видов дробей. Например, можно сказать, что осталась четверть бака бензина, а можно сказать – . Можно обходиться и без процентов: так же, как и массу, измерять только в килограммах, но в зависимости от обстоятельств удобнее использовать другие единицы измерения массы – например, тонны.

То есть процент – это не принципиально новый объект. Это лишь другое название часто используемого нами объекта – дроби со знаменателем . Теперь, когда мы знаем, что процент – это сотая часть, научиться работать с процентами – это дело техники.

В математике важно разделять, какая часть понятийная (что нужно понимать), а какая – техническая (что нужно отработать, решая различные примеры). Если ты один раз прокатился на велосипеде, то это не значит, что ты уже умеешь кататься, но ты понял, как это делать. Так и в математике: после понимания должны следовать упражнения, на которых можно набить руку.

Примером такого упражнения на проценты является следующая задача.  

Рост мальчика  см, он вырос на . Рост его брата  см, и он тоже вырос на . На сколько сантиметров изменился рот каждого?

В первом случае на  см ( от ), а во втором на  см ( от ).

Еще одно популярное упражнение.

Цена товара сначала увеличилась на , а затем уменьшилась на . Как изменилась цена?

Решение

Если первоначальная цена была , то после увеличения на  она стала составлять  от первоначальной, то есть .

Теперь полученную цену  уменьшают на , то есть конечная цена составляет  от : .

Сравним конечную цену с начальной: . То есть по сравнению с исходной, конечная цена уменьшилась на .

Ответ: уменьшилась на .

В обоих упражнениях важно понимать, от какой величины считается процент. В первой задаче мы получили разные результаты для мальчиков (потому что считали одинаковый процент, но от разных величин). Во второй задаче сразу хочется сказать, что цена не изменится. Но это заблуждение. Дело в том, что вторые  (уменьшение цены после повышения) считаются уже от новой, возросшей, цены. Если цена стала больше, то и  от неё стали больше.

Мы уже говорили, что для дроби важно помнить, от какого количества она считается. А так как процент – это сотая часть (то есть тоже дробь), то и для него это важно.

Итоги

Десятичные дроби – это еще один удобный способ записи обыкновенных дробей. Удобство заключается в том, что десятичные дроби легко сравнивать, а также к ним применимы алгоритмы выполнения арифметических операций, которые мы знали для чисел, записанных в десятичной системе.

Процент – другое название сотой части числа. Использование процентов удобно для выполнения сравнения.

Ссылки

1) Урок «Позиционная система счисления»   

2) Урок «Обыкновенные дроби»  

3) Урок «Сравнение обыкновенных дробей»  

4) Урок «Десятичные дроби»   

5) Урок «Сравнение десятичных дробей»  

6) Урок «Округление чисел»   

7) Урок «Проценты (Слупко М.В.)»   

8) Урок «Проценты (Вольфсон Г.И.)» 

9) Урок «Сравнение дробей с разными знаменателями»