Классы
Предметы

Основы геометрии

Идеальные объекты

Математика работает с идеальными объектами. Но зачем это нужно? Возьмем два треугольника (см. рис. 1). На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая – выпуклая, а у другого наоборот (см. рис. 2).

Рис. 1. Два похожих треугольника

 

Рис. 2. Вогнутые и выпуклые стороны треугольников

Эти треугольники похожи, и, наверное, о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих. В то же время эти треугольники отличаются, что делать?

Математика занимается идеальными объектами, идеальными треугольниками (см. рис. 3) и делает о них некие заключения, которые называются теоремами (см. рис. 4). Тогда эти заключения помогут описать и первый, и второй треугольник, но с некоторыми приближениями. Чтобы вывести эти теоремы, нужно сказать, что есть идеальный объект – идеальный треугольник. Хотя, если изучать его очень подробно, он тоже будет иметь свои шероховатости (см. рис. 5). Однако мы принимаем, что есть идеальный объект – треугольник, который составлен из трех отрезков прямых (см. рис. 6).

Рис. 3. Идеальные треугольники

Рис. 4. Пример теоремы. Признак равенства треугольников

Рис. 5. Шероховатости треугольника

Рис. 6. Треугольник – фигура, образованная тремя отрезками прямых

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры – это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка – это идеальный математический объект, который не имеет ни длины, ни ширины. Понятно, что если точку нарисовать, то получится далеко не точка (см. рис. 7), в лучшем случае мы можем считать, что это круг. Хотя, на самом деле, если увеличить изображение точки, оно будет иметь кривые края и т. д. (см. рис. 8). Т. е. это непонятная клякса, если подходить к этому совсем строго.

Рис. 7. Точка

Рис. 8. Увеличенное изображение точки

Для решения различных задач мы используем модели: принимаем, что есть такой объект, как точка, который не имеет ни длины, ни ширины (его размерами мы пренебрегаем). Это удобная для нас модель объекта, размеры которого не важны для решения данной задачи. Важным является ее расположение. Например, точка может обозначать начало некоторого пути.

В обычной жизни мы также пренебрегаем размерами некоторых объектов. Например, пешеход вышел из деревни. Если подробно рассматривать задачу, то возникнет вопрос: из какого места деревни он вышел? Если из дома, то какого дома? Если это неважно (пройденный путь гораздо больше, чем размеры самой деревни), мы говорим, что просто из этой деревни, то есть считаем ее точкой. Когда спортсмены соревнуются в беге на соревнованиях, то там уже важно, с какого именно места они стартуют, где у них расположены ноги и т. д. В этом примере мы не можем сказать: «Стартовал из точки». А, например, город мы можем обозначить за точку, если машина выехала из этого города и удаляется от него на большое расстояние. Точка – один из примеров таких идеальных объектов, причем важно подчеркнуть, что у него нет определения, как и у других базовых понятий.

Следующий базовый объект – это отрезок или прямая, так как отрезок – это часть прямой. Прямая – это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать. Луч – это, условно говоря, половина прямой, часть прямой. Отрезок – часть прямой, ограниченная с двух сторон, то есть имеющая начало и конец (см. рис. 9).

Рис. 9. Плоскость, точка, прямая, отрезок, луч

Говорят, что кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости – это длина отрезка прямой. Но здесь содержится тавтология, так как мы определяем прямую через кратчайшее расстояние, а кратчайшее расстояние – через прямую. Что-то из этого нужно считать определением, а что-то – интуитивно понятным. Важно, что базовые объекты определяются интуитивно (аналогично множествам в алгебре).

Комбинации простейших объектов

Следующие конструкции – это комбинации простейших объектов. Например, две прямые. Они или пересекаются на плоскости (см. рис. 11), или не пересекаются, т. е. параллельны (см. рис. 12). В жизни много примеров параллельных прямых. Например, железнодорожные рельсы (см. рис. 13).

Рис. 11. Пересекающиеся прямые

Рис. 12. Параллельные прямые

Рис. 13. Иллюстрация параллельности прямых на примере рельс

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Т. е. мы сначала вводим объекты, а после – отношения между этими объектами.

Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа – количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби и т. д. (см. рис. 14).

Рис. 14. Угол – отношение между прямыми

Точно так же мы изучали множества, а затем – отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы (см. рис. 14). Если один из них нулевой, то прямые параллельны; если нет – прямые пересекаются. Т. е. угол – это отношение между прямыми.

Существенное отличие угла от таких отношений, как дроби и т. д., в том, что угол ограничен в своем измерении. Максимальный угол – это полный оборот (см. рис. 15). Мы его считаем равным . Это, конечно, условно. Мы могли бы считать полный оборот равным  или измерять в радианах – . Но есть некая единица измерения угла, и она как бы ограничена. Угла большего, чем  на практике мы представить не можем.

Рис. 15. Максимальный угол

Можно ввести, как мы делали с отрицательными числами, новые объекты. Повернулись на один полный оборот, потом еще раз повернулись и т. д (см. рис. 16).

Рис. 16. Несколько полных оборотов

Мы говорили об этом в тригонометрии, когда обсуждали периодические функции. Там тоже возникает эта задача, когда мы делаем несколько оборотов и не знаем, какой именно угол, то ли , то ли ,  и т. д (см. рис. 17).

Рис. 17. Многозначность угла

Важно то, что углы можно измерять. Углов бесконечно много, так как от  до  угол может принимать бесконечное множество значений. Из всего множества углов можно выделить наиболее часто встречающиеся.

Развернутый угол – угол, который образует прямая, половина от полного оборота (см. рис. 18).

Рис. 18. Развернутый угол

При пересечении прямых может образоваться еще один особый угол – прямой (см. рис. 19).

Рис. 19. Прямой угол

Замечателен он тем, что прямые, которые его образуют, расположены таким образом, что одна из них не падает ни вправо, ни влево относительно второй. Поэтому мы говорим, что стена дома должна быть расположена перпендикулярно дому, чтобы он не упал и т. д (см. рис. 20).

Рис. 20. Расположение стены дома, чтобы он не падал

Немного вернемся и скажем, почему мы вводим полный угол, зачем он нам и почему полный оборот равен . Углы можно сравнивать. Есть две прямые, то, как они связаны, – это значение угла между ними. Этот угол может быть больше, может быть меньше (см. рис. 21).

Рис. 21. Угол – отношение между прямыми

Чтобы сравнить величины, мы используем измерения. Как измерить угол? Можно взять полный круг, его за что-то обозначить и дальше выяснить, какую часть этого круга составляет этот угол (см. рис. 22).

Рис. 22. Сравнение углов

Угол, который меньше прямого, – острый угол. Больше прямого – тупой (см. рис. 23).

Рис. 23. Тупой, прямой и острый углы

Дальше мы будем использовать угол, то есть отношение между прямыми, в других фигурах, таких как треугольники и т. д. Сейчас мы знаем, что, если у нас есть две прямые, мы можем ввести отношение, которое называется углом, и, соответственно, сделать некую классификацию. Выделены два угла: один нулевой – его образуют параллельные прямые; прямой угол – образуют перпендикулярные прямые (когда все  угла, образующихся при пересечении двух прямых, равны (см. рис. 24)).

Рис. 24. Параллельные и перпендикулярные прямые

Взаимное расположение трех прямых

1-й случай: все три прямые параллельны (см. рис. 25).

Рис. 25. Параллельные прямые

2-й случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает (см. рис. 26).

Рис. 26. Две прямые параллельны, а третья их пересекает

Рассмотрим такой пример: один человек с закрытыми глазами проводит прямую карандашом, а другой после этого произвольно поворачивает лист – в результате после трех таких операций получится треугольник. Или, например, если с закрытыми глазами бросить три спички на бумагу и продолжить их, то также получится треугольник (см. рис. 27).

Рис. 27. Получение треугольника

Вывод: три прямые, проведенные на плоскости случайным образом, с вероятностью  образуют треугольник (все остальные предельные случаи – три прямые параллельны, пересекаются в одной точке, две прямые параллельны, а третья их пересекает – вероятны так же, как и выпадение монеты на ребро). Поэтому эту фигуру мы так подробно и изучаем в школе.

Треугольник

С одной стороны, треугольник образуют три прямые. Посмотрим на треугольник с другой стороны, т. е. как на фигуру, состоящую из отрезков. Про два отрезка ничего нельзя сказать, они не могут замкнуться, так как всегда есть начало, есть конец, и они не совпадают (см. рис. 28).

Рис. 28. Два отрезка

Если добавить третий отрезок, то получим наименьшую возможную замкнутую ломаную – треугольник (см. рис. 29).

Рис. 29. Наименьшая замкнутая ломаная – треугольник

Исходя из этих свойств и особенностей, из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников, и т. д. (см. рис. 30).

Рис. 30. Многоугольники состоят из треугольников

Треугольники изучаются потому, что на практике имеют большое значение. Для того чтобы построить устойчивую фигуру, нужно использовать треугольники. Например, вантовый мост (см. рис. 31). Несущие конструкции состоят как раз из треугольников.

Рис. 31. Вантовый мост

Треугольник также используется для измерения расстояний (см. рис. 32), а также изучаются его взаимоотношения с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией (см. рис. 33).

Рис. 32. Измерение расстояний с помощью треугольников

Рис. 33. Взаимоотношение треугольника с окружностью

Треугольник часто встречается, но он также легко вычисляем в том смысле, что, зная три элемента треугольника (две стороны и угол между ними; два угла и сторону; три стороны), мы можем вычислить все остальные элементы. Таким образом, треугольник можно рассчитать, а раз можно рассчитать, то, соответственно, можно дальше считать жесткость конструкции или какие-то другие искомые параметры. Например, для произвольного семиугольника мы уже так легко семью элементами не обойдемся. Даже зная все его стороны, не факт, что мы однозначно сможем построить этот семиугольник. Для треугольника все проще: однозначно можно восстановить треугольник по трем элементам, и эта особенность треугольника делает его важнейшим геометрическим объектом.

Общие свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, то есть смысл ввести некую классификацию треугольников. Сказать, что если два треугольника похожи в каком-то смысле, то мы можем считать, что они имеют какие-то похожие свойства.

Не из любых трех отрезков можно составить треугольник – для этого они должны удовлетворять важному свойству, которое называется неравенством треугольника.

Кратчайшее расстояние между двумя точками – это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок (см. рис. 34).

Рис. 34. Кратчайшее расстояние между двумя точками

Неравенство треугольника: сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны (см. рис. 35). Т. е. это условие, при котором из трех отрезков можно составить треугольник.

Рис. 35. Неравенство треугольника

Еще одно свойство, которое выполняется для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота, или, по-другому, сумма углов треугольника – два прямых угла (см. рис. 36).

Рис. 36. Сумма углов треугольника

Подобные треугольники

Треугольники можно классифицировать по схожести: подобные (и их частный случай – равные) треугольники (см. рис. 37) – и по симметрии.

Рис. 37. Подобные треугольники

Говоря о подобии, необходимо вспомнить, что такое класс эквивалентности. Вспомним, что:  – эквивалентные дроби. Чем они отличаются? Числитель и знаменатель умножены на одно и то же число: . (см. рис. 38).

Рис. 38. Эквивалентные дроби

Аналогично с треугольниками. Нарисуем большой треугольник на доске и в тетради (см. рис. 39). Мы точно знаем, что они похожи. Когда учитель рисует на доске треугольник и говорит ученикам нарисовать такой же в тетради, то у всех треугольники будут похожи. Это и есть подобные треугольники (семейство подобных треугольников). Чем они отличаются, а чем похожи?

Рис. 39. Семейство подобных треугольников

У каждого из треугольников в этом семействе соответствующие углы равны (см. рис. 40).

Рис. 40. Равенство углов в подобных треугольниках

С другой стороны, если измерить длины сторон, мы увидим, что они пропорциональны. Например, если у второго треугольника стороны равны соответственно ,

 и , то у первого треугольника они будут уже ,  и . Т. е. стороны отличаются в одно и то же количество раз (см. рис. 41). Треугольники, у которых длины сторон пропорциональны, а углы равны, называются подобными треугольниками.

Рис. 41. Пропорциональность сторон в подобных треугольниках

Важно понимать, что подобие в математике – это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что похожи. А почему? Потому, что стороны пропорциональны (см. рис. 42).

Рис. 42. Схожесть двух прямоугольников

Примером подобия может служить карта. Она подобна местности, которую изображает, а масштаб – это и есть коэффициент подобия (см. рис. 43). Аналогично с треугольниками или другими фигурами.

Рис. 43. Карта как пример подобия

Второй способ классификации треугольников – это выделение некоторых типов треугольников. Мы говорили, что один из типов – это прямоугольный треугольник (см. рис. 44). Когда один из углов прямой – это накладывает определенные условия на треугольник. С такими треугольниками мы часто встречаемся в жизни. Прямоугольный треугольник – это также половина прямоугольника и т. д. со всеми вытекающими свойствами.

Рис. 44. Прямоугольный треугольник       Свойства прямоугольного треугольника:

  • теорема Пифагора: сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (см. рис. 45);
  • свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы (см. рис. 46);
  • с прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии (см. рис. 47), т. е. говорим о связи геометрии и алгебры. Измеряем углы с помощью отношений. Вводим понятия синуса, косинуса. Знаем, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Рис. 45. Теорема Пифагора

Рис. 46. Свойство медианы прямоугольного треугольника

Рис. 47. Тригонометрические формулы для прямоугольного треугольника

Пример. Даны два прямоугольных треугольника. Их общий острый угол задается отношением  (см. рис. 48). Легко увидеть, что эти треугольники подобные и оба эти отношения точно описывают угол. Его можно измерять по-разному, один из вариантов – измерение угла отношением. Так как для всех подобных треугольников эти соотношения будут одинаковые, то значение отношения для этого угла не будет зависеть от треугольника, в котором мы его измеряем. Следовательно, оно универсально, а значит, им можно пользоваться. Мы установили взаимно-однозначное соответствие.

Рис. 48. Тангенс угла прямоугольного треугольника

Классификация треугольников по его сторонам

Если две стороны треугольника равны, то треугольник называется равнобедренным и понятно, что у него появляется ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист бумаги пополам, то две части треугольника совпадут (см. рис. 49). Соответственно, это дает определенные свойства этому виду треугольников.

Рис. 49. Равнобедренный треугольник

Абсолютно симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны, – это равносторонний треугольник. Данный вид треугольников имеет три оси симметрии и центр симметрии. Т. е. если мы повернем треугольник на , то получим точно такой же треугольник (см. рис. 50).

Рис. 50. Равносторонний треугольник

Данный треугольник задается одним параметром – длиной стороны. Она полностью определяет все значения и размеры в этом треугольнике.

Мы говорим о правильном треугольнике потому, что дальше есть смысл говорить о правильных многоугольниках. Треугольник имеет  угла; четырехугольник –  угла; пятиугольник –  углов и т. д. (см. рис. 51). Соответственно, многоугольник имеет «много углов».

Рис. 51. Многоугольники

Про четырехугольники мы также много говорим на уроках, так как они тоже изучаемы. Прямоугольник, квадрат, ромб и т. д. (см. рис. 52). Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов и т. д.), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Рис. 52. Четырехугольники

Например, мы легко можем посчитать площадь прямоугольника, но вот для -, -угольников трудно выделить какие-то особенные свойства, кроме одного единственного случая, когда многоугольник правильный – все углы, все стороны равны и многоугольник задается одним единственным параметром – длиной стороны. Если увеличивать количество сторон многоугольника, то для нашего глаза полученная фигура ничем не будет отличаться от еще одной простой, но в тоже время сложной фигуры – окружности, которая также задается одним параметром – радиусом (см. рис. 53). Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки этой окружности. Все окружности подобны, как и все правильные треугольники, четырехугольники и т. д.

Рис. 53. Приближение многоугольника к окружности

Окружность – это еще один объект, который изучается. Так как, с одной стороны, ее легко описать, она задается одним параметром – радиусом, а с другой стороны часто встречается в физике и в жизни. Например, при падении капли от нее остаются следы – окружности (см. рис. 54).

Рис. 54. Иллюстрация примера с каплей

Взаимодействие объектов

Следующий уровень – это взаимодействие всех вышеупомянутых объектов. Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может пересекать ее, а может касаться, т. е. пересекать в одной точке (см. рис. 55).

Рис. 55. Взаимное расположение прямой и окружности

Окружность и треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность, и вокруг любого ее можно описать (см. рис. 56).

Рис. 56. Вписанная и описанная окружности треугольника

Важно подчеркнуть, что это верно только для треугольников. Мы не в любой четырехугольник можем вписать окружность, и не вокруг любого можем описать (см. рис. 57). Более подробно мы поговорим на уроках, в какие четырехугольники можно вписать окружности, вокруг каких можно описать. Существуют признаки, теоремы, которые говорят, что вот только так можно, а так нельзя.

Рис. 57. Вписанная и описанная окружности четырехугольника

Треугольник и окружность очень тесно взаимосвязаны. Существует множество задач в задачниках на эту тему, чтобы отработать технику. Существуют также практические задачи. Например, поставить колодец для трех сел так, чтобы никому не было обидно. Тогда точка расположения колодца – центр описанной окружности (см. рис. 58). Он всегда существует, и его можно найти.

Рис. 58. Расположение колодца, равноудаленного от трех сел

Аналогично вышка для мобильных телефонов. Чтобы она покрывала весь участок из трех сел, нужно поставить ее именно в месте центра описанной окружности.

Центр вписанной окружности пригодится, если нам нужно расположить объект так, чтобы расстояние до трех дорог между селами было одинаковым (см. рис. 59).

Рис. 59. Расположение объекта равноудалено от дорог между селами

Практическая сторона геометрии

Мы поговорили про основные геометрические объекты, про их взаимоотношения, но тогда стоит затронуть еще одну важную тему: зачем мы вообще изучаем геометрию? Ответ на этот вопрос: из-за ее практического применения. На уроках мы затрагивали эту тему: говорили об измерении больших расстояний, про колодец и три села и т. д. Но стоит привести еще примеры, которые показывают, что геометрические задачи встречаются в нашей жизни ежедневно.

Один из таких примеров – экстремальные задачи. Т. е. такие задачи, когда мы хотим какой-то объект сделать оптимальным по одному из параметров.

Самая известная такая задача – это задача Дидоны: дана веревка, нужно огородить участок максимальной площади. Мы фиксируем периметр, т. е. длину границы, и хотим огородить максимальную площадь, т. е. максимизировать ее. Оказывается, что участок с максимальной площадью – это окружность (см. рис. 60).

Рис. 60. Задача Дидоны

Многие задачи в геодезии связаны с геометрией, и, изучая свойства треугольников, многоугольников, окружностей, мы можем научиться решать более сложные задачи, которые нужны для построения мостов, прокладывания дорог, навигации и т. д. Можно не помнить точные формулировки самих теорем, но важно понимать, зачем нужна геометрия, где она применяется.

 

Ссылки

  1. Геометрия. Основные понятия
  2. Прямая и отрезок
  3. Луч и угол
  4. Сравнение отрезков и углов
  5. Измерение отрезков
  6. Измерение углов
  7. Перпендикулярные прямые
  8. Треугольники
  9. Перпендикуляр к прямой
  10. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
  11. Равнобедренный треугольник и его свойства
  12. Окружность. Типовые задачи
  13. Признаки параллельности прямых
  14. Свойства параллельных прямых
  15. Виды треугольников
  16. Задачи на углы треугольника
  17. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
  18. Неравенство треугольника
  19. Основные свойства прямоугольных треугольников
  20. Начальные геометрические сведения
  21. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник
  22. Параллельные прямые
  23. Соотношения между сторонами и углами треугольника
  24. Прямоугольный треугольник и его свойства
  25. Многоугольники
  26. Параллелограмм
  27. Прямоугольник
  28. Ромб и квадрат
  29. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора
  30. Почему важна теорема Пифагора?
  31. Подобие общих фигур
  32. Первый признак подобия треугольников
  33. Второй признак подобия треугольников
  34. Третий признак подобия треугольников
  35. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  36. Практические приложения подобия треугольников
  37. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
  38. Взаимное расположение прямой и окружности
  39. Касательная к окружности
  40. Теорема о пересечении высот треугольника
  41. Точка пересечения высот треугольника
  42. Вписанная окружность
  43. Описанная окружность
  44. Вписанная и описанная окружности
  45. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
  46. Четыре замечательные точки треугольника
  47. Площадь
  48. Теорема синусов
  49. Теорема косинусов
  50. Решение треугольников
  51. Правильный многоугольник
  52. Окружность, описанная около правильного многоугольника
  53. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
  54. Правильные многоугольники. Типовые задачи
  55. Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки