Классы
Предметы

Показательная функция и логарифм

Дополнительные материалы по теме:
Статья на Wiki «Акинатор» — интернет-игра»
Отрывок из книги «Трилогия о математике» про игру «Бар-Кохба» 

Показательная функция

На этом уроке мы поговорим о показательной и логарифмической функциях. Их обычно изучают вместе, так как они взаимно обратные. Мы поговорим о применении этих функций, о том, почему именно эти функции выделены для изучения.

Показательная функция используется при описании всех явлений, которые мы называем лавинообразными процессами. Если сказать четче, то это процессы, где изменение величины пропорционально уже имеющемуся количеству величины (чем больше, тем больше меняется; чем меньше, тем меньше меняется).

Примером такого процесса является размножение бактерий. Рассмотрим такую задачу. В стакане есть одна бактерия. Каждую секунду она делится на две бактерии, новые бактерии так же каждую секунду делятся на две и т.д. За минуту весь стакан был заполнен бактериями. Сколько бактерий было в стакане за секунду до этого?

Хочется сказать, что было заполнено чуть меньше целого стакана, где-то , но правильный ответ: половина стакана. Если заполнена половина стакана, то через секунду каждая бактерия разделится на  части, и они заполнят весь стакан. Как видим, первая половина стакана заполнялась  секунд, а вторая половина заполнилась лишь за  секунду.


Таяние ледников

Наверняка все слышали о проблеме таяния льдов на планете. Почему возникают такие процессы оледенения и, наоборот, потепления? Они были и раньше, хотя сейчас говорят, что ключевое влияние на их скорость оказывает деятельность человека. Есть разные гипотезы, но это не так важно.

Важнее то, что уменьшение количества льда увеличивает количество поглощаемой солнечной энергии. То есть, чем меньше становится льда, тем быстрее он будет таять. Процесс экспоненциальный, или, по-другому, самовызывающийся, самоподпитывающийся.


 

Такой процесс описывается показательной функцией (или экспонентой):  (Рис. 1).  – основание, , , а  – показатель степени, изменяющаяся величина.

Рис. 1. График функции

Еще один пример показательной функции, который многим знаком, – сложные проценты. Если мы кладем деньги в банк под фиксированный процент, при этом деньги не снимаем, а процент начисляется на всю имеющуюся сумму, то сумма, которую мы получим через  периодов: , где  – начальный вклад,  – процентная ставка,  – количество пройденных периодов (лет, месяцев и т.п.). Сначала сумма будет расти медленно, но затем рост ускорится.

Еще один хороший пример. Если возвести  в  степень, то мы получим приблизительно , а вот  в степени , это практически . Если представить этот пример в виде процентов, то в первом случае начисляется  в день, тогда за год сумма увеличится в  раз. А во втором случае снимается один процент в день, тогда через год почти ничего не останется.

При этом одной из характерных особенностей показательной функции является то, что до  при такой схеме сумма уменьшиться не может. Похожий пример из ядерной физики – период полураспада. У радиоактивных элементов есть период полураспада, например, за  лет масса вещества уменьшится в  раза (Рис. 2).

Рис. 2. Таблица периодов полураспада некоторых элементов

То есть если мы имели  килограмм вещества, то за первые  лет уйдет  грамм вещества (достаточно много), а за следующие  лет – уже  грамм и т.д. А потом будет период, где за  лет уйдет около  грамма вещества. Это пример убывающей экспоненты.

Если рассмотреть множество всех функций и выделить среди них те, которые обладают следующим свойством: , то оно будет выполнено для показательных функций: .

 

Логарифм

Мы рассмотрели функцию  и то, как  зависит от , а как будет зависеть  от ? Для описания этой зависимости вводят обратную функцию – логарифм. , логарифм – это показатель степени.

Пример, который поможет понять, что такое логарифм, следующий. Пусть у нас есть  коробочек, в одной из них монета. За какое наименьшее количество вопросов (с ответом «да/нет») можно ее найти? В данном случае можно сделать это за  вопроса. С каждым ответом можно в  раза уменьшить количество вариантов, спрашивая, например, «Нужная коробка в левой/правой половине?» То есть после первого вопроса остается  варианта, после второго – , а после третьего мы точно знаем расположение нужной коробки.

Похожий алгоритм используется в компьютерной игре «Акинатор», где джин за небольшое количество вопросов называет загаданного вами персонажа. В очень большом количестве случаев, особенно когда загадывается известная личность, он справляется со своей задачей. Кажется, что количество различных персонажей огромное и угадать их слишком сложно. Но алгоритм этой программы основан на свойствах логарифмической функции. Выбираются вопросы, позволяющие отсекать наиболее обширные категории (например, мужчина/женщина). Тогда ответ на вопрос в  раза уменьшит количество вариантов.

Ещё одна похожая игра называется игрой Бар-Кохбы. По легенде, это был военачальник, который послал лазутчика в лагерь противника. Его захватили враги и отрезали ему язык, чтобы он не мог говорить. Лазутчику удалось сбежать, он многое видел, но рассказать не мог. Тогда Бар-Кохба придумал выход из ситуации: задавал вопросы, а шпион только кивал головой, отвечая «да/нет». Таким образом Бар-Кохба сумел узнать нужную информацию.

До появления инженерных калькуляторов и компьютеров логарифмы использовали также для вычисления значений различных выражений: для этого применяли так называемую логарифмическую линейку (Рис. 3).

Рис. 3. Логарифмическая линейка

Принцип её работы основан на свойстве логарифма: . То есть для логарифмической функции верно следующее: .


Где встречаются логарифмы

Предположим в городе действует группа злоумышленников, которая заложила бомбу. В эту группу внедрён агент, которому звонит полицейский. Но агент находится в окружении бандитов и не может просто передать информацию о расположении бомбы. Поэтому он говорит, что ему звонит жена, на все вопросы можно отвечать лишь «Нет, дорогая» или «Да, дорогая».

Чтобы при таких условиях все же передать место расположения бомбы, можно сделать следующее: разделить город на  квадрата (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

После этого за  таких вопросов можно определить нужный квадрат, каждый раз уменьшая количество вариантов вдвое. Например, вопросом «Это квадрат ?» и т.д.

Если увеличить количество ответов до трех («Да, дорогая», «Нет, дорогая, «Не знаю, дорогая», то тогда для  квадратов будет достаточно  вопросов ().

Еще один хороший пример, в котором мы сталкиваемся с логарифмами, – то, как мы слышим. Если бы наши органы слуха работали по линейному закону, то, для того чтобы услышать шорох змеи, нам бы пришлось глохнуть от раскатов грома. Или наоборот: если бы мы не глохли от грома, то совсем не слышали бы шорох змеи. Хотя для выживания человеку нужно слышать и то, и то. Поэтому наш слух описывается логарифмической шкалой, то есть увеличение громкости на одно и то же число ( дБ), не приводит к такому же росту нашего восприятия этого звука (Рис. 5).

Рис. 5. Таблица некоторых звуков

Еще один пример. Наше отношение к деньгам.  и  копеек для нас почти не различаются, хотя  копеек в два раза больше. А вот, например, если взять в такой же пропорции большую сумму,  рублей и  рублей, то разница становится ощутимой. То есть шкала также не линейная, а логарифмическая, мы воспринимаем изменения относительно чего-то.

Фактически такие закономерности можно описать законом Вебера-Фехнера: интенсивность ощущения чего-либо прямо пропорциональна логарифму интенсивности раздражителя. Например, если говорить об освещении, то разница между двумя лампами и четырьмя лампами будет для нас такая же, как разница между четырьмя лампами и восьмью. То есть, хоть мы и добавили больше – четыре лампы, ощущения такие же. Увеличение в одинаковое количество раз мы одинаково будем ощущать.

Аналогичная ситуация с восприятием массы. Например, для маленького веса разница в 30 граммов будет ощутима, а для большого – нет (Рис. 6).

Рис. 6. Восприятие разницы масс


 

Ссылки:

1) Урок «Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения» 

2) Урок «Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения» 

3) Урок «Показательная функция, ее свойства и простейшие показательные неравенства»

4) Урок «Понятие логарифма»

5) Урок «Понятие логарифма. Простейшие задачи»

6) Урок «Функция y=logax, ее свойства и график»

7) Урок «Функция y=logax, ее свойства и график (продолжение)»

8) Урок «Функция y=logax, ее свойства и график. Решение задач» 

9) Урок «Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного»