Классы
Предметы

Производная и интеграл

Общие сведения о функции

Сегодня мы будем говорить об исследовании функций. Важно отметить, что математика устроена так же, как и обычный дом: сначала закладывается фундамент, а потом уже слой за слоем выкладываются кирпичи. Роль фундамента в математике играет функция (соответствие между двумя множествами). После введения понятия функции ее начинают исследовать как объект аналогично тому, как это было сделано с числами.

На самом деле, в жизни мы тоже часто пользуемся не только объектами, но и соответствиями между ними, отношениями между объектами. В качестве примера можно привести книги о любви (любовь – это отношение между людьми).

После исследования функции в математике начинают исследовать множества функций, затем пространства функций и так далее. Но мы сегодня поговорим о первичном анализе функции.

Что такое функция? Функция – это соответствие между множествами. На данном уроке мы будем говорить о числовых функциях, то есть о соответствиях между числовыми множествами. Также мы поговорим о локальном свойстве функции (поведение функции в данной конкретной точке) и глобальном (свойство, связанное со всей областью определения функции). Производная – это описание локальных свойств функций, а интеграл – описание глобальных.

Например, есть две разные функции, но в точке  их графики совпадают (см. рис. 1). Но в чем же разница между поведением функций в окрестности этой точки? Об этом и пойдет речь.

Рис. 1. Пересечение графиков двух разных функций

Производная функции

По графику функции можно легко определить ее свойства: монотонность (функция возрастающая или убывающая), четность (нечетность) и периодичность (см. рис. 2).

Рис. 2. Характеристики функций

Все эти характеристики являются математическими. А вот производную часто используют в жизни. Чаще всего, когда мы описываем какой-то процесс с помощью графика, нас интересует динамика этого процесса, то есть не значение функции в конкретной точке, а как функция будет себя вести в дальнейшем (она будет расти или убывать?). Например, когда мы хотим проанализировать рост цен или сравнить цены за разные периоды времени (абсолютные значения могли измениться, а динамика осталась той же) (см. рис. 3).

Рис. 3. Динамика цен на золото

Производная помогает выяснить, как функция будет себя вести в окрестности данной точки.

Стоит уточнить, что в школе чаще всего производную функции ищут на всей области определения. Это связано с тем, что исследуемые функции являются «хорошими», то есть их поведение предсказуемо на всей оси. Но вообще производная – локальная характеристика функции.

Например, при просмотре фотографий с разной выдержкой может быть несколько вариантов:

  1. машины стоят и люди находятся каждый на своем месте (см. рис. 4);
  2. смазанная картинка, видно кто куда направляется (см. рис. 5).

Рис. 4. Фотография с выдержкой  с

Рис. 5. Фотография с выдержкой  с

Второй вариант – это наглядная иллюстрация производной (размытие картинки).

В точке функция принимает конкретное значение, и по нему практически нельзя сделать какие-то выводы о ее поведении. А если рассмотреть окрестность этой точки, то уже можно сказать, с какой стороны она меньше (с какой больше) и сделать вывод, возрастает она или убывает. То есть когда выдержка маленькая, мы видим значение функции в точке, а когда рассматриваем задержку кадра – мы уже можем проанализировать поведение функции (см. рис. 6).

Рис. 6. Аналогия между производной и фотографией

В повседневной жизни мы часто анализируем ситуацию подобно анализу функций в математике. Например, говоря, что на улице теплеет (холодает), мы не указываем конкретную температуру в данный момент, а имеем в виду, что в скором времени температура повысится (понизится). Это аналогично вычислению производной (см. рис. 7).

Рис. 7. Анализ изменения температуры

Введем точное определение производной.

Производной функции  в точке  называется предел при  отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии что этот предел существует):

Поскольку мы хотим ввести такое понятие, как скорость изменения функции (основное слово – скорость), то можно провести параллель с физикой. Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная отношению перемещения к интервалу времени, за который это перемещение произошло, если интервал времени стремится к нулю:

 – мгновенная скорость, м/с;  – перемещение тела, м (при );  – стремящийся к нулю интервал времени, с.

Но важно уточнить, что, когда мы говорили про температуру, мы указывали только качественную характеристику процесса, но не говорили про скорость изменения температуры. Производная учитывает скорость изменения функции. Функции могут расти по-разному. Например, парабола () возрастает быстрее, чем логарифм () (см. рис. 8).

Рис. 8. Скорость возрастания графиков функций  и

Именно для сравнения скорости возрастания (убывания) функции мы и вводим конкретную характеристику функции – производную. Проводя аналогию между производной и скоростью движения какого-либо предмета (скорость – это отношение пройденного пути ко времени, или же изменение координаты за единицу времени), можно сказать, что в пределе производная – это отношение изменения функции (то есть пути, который прошла точка, если бы она двигалась по графику функции) к приращению аргумента (время, за которое было выполнено перемещение) (см. рис. 9). В этом и заключается механический (физический) смысл производной.

Рис. 9. Аналогия между скоростью и производной

Производная – это локальное свойство функции. Важно различать вычисление производной на всей области определения и на конкретном участке, потому что функция на одном промежутке могла быть квадратичной, на другом – линейной и так далее. Но это все одна функция, и в разных точках такая функция будет иметь разные значения производной.

Для большинства функций, заданных аналитически (конкретной формулой), у нас есть таблица производных (см. рис. 10). Это аналог таблицы умножения, то есть имеются основные функции, для которых производные уже посчитаны (можно доказать, что они имеют именно такой вид), а дальше есть некоторые правила (см. рис. 11) (аналоги умножения или деления в столбик), с помощью которых можно вычислять производные сложных функций, производные произведения и так далее. Таким образом, практически для всех функций, выраженных через известные нам функции, мы можем описать поведение функции на всей области определения.

Рис. 10. Таблица производных

Рис. 11. Правила дифференцирования

Но все-таки определение производной, которое мы дали ранее, точечное. Для обобщения производной в точке на всю область определения функции нужно доказать, что в каждой точке значение производной будет совпадать со значениями одной и той же функции.

Геометрический смысл производной

Если представить такую функцию, которая не записывается аналитически, то в окрестности каждой точки мы можем представить ее в виде линейной функции. Производную линейной функции в окрестности некоторой точки легко посчитать. Если мы представляем функцию линейно, то она совпадает со своей касательной (см. рис. 12).

Рис. 12. Представление функции в каждой точке в виде линейной функции

Из прямоугольного треугольника мы знаем, что тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Следовательно, геометрический смысл производной заключается в том, что производная – это тангенс угла наклона касательной в этой точке (см. рис. 13).

Рис. 13. Геометрический смысл производной

Говоря про производную как про скорость, можно сказать, что если функция убывает, то ее производная отрицательна, и наоборот, если функция возрастает, то ее производная положительна. С другой стороны, мы определили производную как тангенс угла наклона касательной. Это тоже легко пояснить. Если функция возрастает, то касательная образует острый угол, а тангенс острого угла положителен. Следовательно, производная положительна. Как видим, физический и геометрический смысл производной совпали.

Применение производной

Ускорение – это скорость изменения скорости (то есть производная от скорости). С другой стороны, скорость – это производная от перемещения. Получается, что ускорение – это вторая производная (производная от производной) от перемещения (см. рис. 14).

Рис. 14. Применение производной в физике

Производная – это средство изучения свойств функции.

Практический смысл производной

Производная применяется для решения задач на оптимизацию. Этому есть объяснение. Так как производная показывает рост функции, то с ее помощью можно найти локальные максимумы и минимумы функции. Зная, что на одном участке функция возрастала, а затем она начала убывать, мы предполагаем, что в некоторой точке существует локальный максимум. Аналогично, если функция убывала, а затем начала возрастать, в некоторой точке существует локальный минимум (см. рис. 15).

Рис. 15. Локальные минимумы и максимумы функции

На практике это может применяться для нахождения, например, максимальной прибыли при заданных условиях. Для этого нужно найти точку, в которой будет локальный максимум. Если же нам нужно определить минимальные затраты, то, соответственно, нужно определить точку, в которой находится локальный минимум (см. рис. 16).

Рис. 16. Нахождение максимальной прибыли и минимальных затрат

В школе решается много задач на оптимизацию. Рассмотрим одну из них.

Каким должен быть прямоугольный забор фиксированной длины, чтобы он ограждал максимальную площадь (см. рис. 17)?

Рис. 17. Задача на оптимизацию

Оказывается, что забор должен быть квадратным.

Таких задач, когда один параметр зафиксирован, а второй нужно оптимизировать, достаточно много. Тот параметр, который зафиксирован, – это наши данные задачи (например, материал для забора). А есть параметр, который мы хотим получить минимальным или максимальным (например, максимальную площадь, минимальный размер). То есть образуется пара «ресурс – эффект». Есть некий ресурс, который изначально задан, и некоторый эффект, который мы хотим получить.

Интеграл

Перейдем теперь к глобальным свойствам функции. Рассмотрим самый простой случай интеграла. Возьмем ряд чисел:  . Ряд – это тоже функция (натурального аргумента), у каждого числа есть свой порядковый номер и значение. .

Запишем формулу для нахождения суммы этого ряда:

Сумма до какого-то определенного значения  будет значением интеграла.

Например, для :

То есть интеграл – это фактически сумма (в данном случае сумма значений функции).

У большинства учеников интеграл ассоциируется с площадью. Попробуем связать пример с суммой ряда и площадью. Перепишем этот ряд в виде линейной функции: .

Тогда суммой этого ряда будет сумма площадей частей под графиком (в данном случае трапеций) (см. рис. 18).

Рис. 18. Площадь под графиком функции

Сумма площадей равна площади суммы (если части, на которые разбита фигура, не пересекаются). Значит, интеграл – это площадь под графиком функции. Таким образом, найдя интеграл, мы можем найти площадь какой-то части плоскости. Например, можно найти площадь под графиком .

Если мы хотим строго ввести определение интеграла через площадь фигуры под функцией, то разбивать саму фигуру нужно на очень маленькие кусочки. Не всегда так удобно считать площадь, как в случае линейной функции. Возьмем, к примеру, функцию . Если линейно приблизить функцию (как мы предлагали делать в случае с производной), то мы так же, как и в предыдущем примере, получим разбиение всей площади на сумму площадей трапеций (см. рис. 19).

Тогда в пределе сумма это и есть интеграл, то есть площадь под графиком функции.

Рис. 19. Площадь под графиком функции

Вычисление интегралов

Но как же считать эту площадь (интеграл)? Для известных функций существует таблица интегралов (аналогично таблице производных). Но в общем случае мы функцию приближаем отрезками и считаем сумму площадей трапеций под этими отрезками. Уменьшая отрезки, в пределе получаем значение интеграла.

В отличие от производной, когда для «хорошей» функции всегда получается «хорошая» производная, в случае интеграла это не так. Например, для такой простой функции, как  посчитать интеграл и представить его в виде аналитических функций мы не можем (см. рис. 20).

Вычисления интеграла – это непростая задача, и поэтому существование такой простой формулы Ньютона-Лейбница (см. рис. 20), которая позволяет быстро вычислять значение интеграла, если мы знаем его вид, существенно облегчает подсчеты. В противном случае каждый раз вычислять предельную площадь было бы сложно.

Рис. 20. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов

Поэтому к основным методам вычисления относятся:

  1. таблица интегралов для тех функций, которые мы можем посчитать (см. рис. 21);
  2. свойства интеграла, которые позволяют вычислять разные комбинации табличных функций (см. рис. 22);
  3. формула Ньютона-Лейбница (если мы посчитаем значение в крайней правой точке и вычтем значение в крайней левой точке, то получим площадь) (см. рис. 20).

Рис. 21. Таблица интегралов

Рис. 22. Свойства определенного интеграла

В школе формула Ньютона-Лейбница не выводится, хотя это не сложно сделать, если определить интеграл как площадь под графиком.

Подробнее о выводе формулы Ньютона-Лейбница:

Примеры глобальных свойств в жизни

Для того чтобы лучше понять разницу между локальными и глобальными свойствами функции, можно рассмотреть пример стрельбы по мишеням. Если взять несколько выстрелов вокруг (ни один не попал в центр) и вычислить среднее, то получится практически  (см. рис. 23). Хотя на самом деле стрелок мог попадать все время выше или ниже мишени, а среднее все равно получится близко к .

Рис. 23. Стрельба по мишеням

Можно привести пример из физики – центр тяжести. Одинаковая масса с одинаковым центром тяжести может быть распределена совершенно по-разному (см. рис. 24).

Рис. 24. Варианты распределения массы с одинаковым центром тяжести

В качестве еще одного примера можно привести среднюю температуру по больнице. Если у кого-то температура , а у кого-то , то в среднем получается  и кажется, что не так сильно болеют пациенты.

Взаимосвязь производной и интеграла

Если говорить про связь производной (локальная характеристика) и интеграла (глобальная характеристика), то интуитивно понятно, что это взаимообратные понятия. На самом деле так и есть. Если взять производную от интеграла или интеграл от производной, то получим исходную функцию. Чтобы объяснить это, рассмотрим движение тела. Мы уже знаем, что скорость – это производная от перемещения. Попробуем выполнить обратную операцию. Для этого выразим перемещение через скорость и время:

И если посмотрим на график (скорость меняется линейно), то увидим, что путь – это произведение скорости на время. С другой стороны, это площадь под графиком (см. рис. 25).

Рис. 25. Связь между производной и интегралом

Если вычислить интеграл от скорости, то получится значение для пути. А скорость – это производная от пути.

Следовательно, производная и интеграл – взаимообратные функции. Этому есть строгое доказательство.

Для наглядности можно сказать, что производная – это отношение  к , а интеграл – это произведение  (см. рис. 26). Более подробное доказательство можно посмотреть по ссылке https://studopedia.ru/5_132646_svoystva-neopredelennogo-integrala.html.

Рис. 26. Связь производной и интеграла

Но для того чтобы анализировать, понимать, о чем идет речь, и работать с операциями дифференцирования (вычисления производной) и интегрирования (вычисления интеграла), сказанного на данном уроке и материалов из основных уроков будет достаточно.

Производная и нумерация

Когда нам нужно найти дом по адресу ул. Невская, , а мы вышли напротив дома , то мы идем влево или вправо от этого дома, чтобы понять, как идет нумерация.

Допустим, мы пошли влево и увидели дом , из этого можно сделать вывод, что дом  находится справа (см. рис. 27). Можно сказать, что мы вычислили производную (определили участок, где функция возрастает).

Рис. 27. Определение нумерации домов

Аналогичная ситуация обстоит с нумерацией вагонов на пироне. Если нам нужен вагон , а мы вышли возле вагона , то непонятно, в какую сторону нужно двигаться. Узнав номера соседних вагонов, можно определить, в какой стороне находится нужный. Для удобства на вокзале сообщают, с какой стороны поезда (с «головы» или с «хвоста») начинается нумерация, то есть задают направление роста (или убывания) номеров.

На вагоне можно обозначить стрелкой направление роста номеров. Это эквивалентно знаку производной (характер производной мы знаем) (см. рис. 28).

Рис. 28. Определение нумерации вагонов

Вторая производная и выпуклость функции

Вторая производная функции показывает направление ее выпуклости (вверх или вниз).

Вернемся к примеру про скорость. Если ускорение положительно, то это означает, что скорость растет, то есть функция будет быстрее увеличиваться. В этом случае функция будет выпуклой вниз (см. рис. 29). Это связано с тем, что координата все быстрее увеличивается и функция резче идет вверх (сначала она была пологая, а затем становится более вертикальной).

Рис. 29. Функция выпукла вниз

А если ускорение отрицательное, то рост координаты замедляется. Таким образом, мы наблюдаем выпуклость вверх (см. рис. 30).

Рис. 30. Функция выпукла вверх

 

Ссылки:

  1. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
  2. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
  3. Производная
  4. Производная, таблица производных
  5. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
  6. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
  7. Таблица производных. Типовые задачи
  8. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x)=cos2x-cosx
  9. Исследование функций
  10. Дифференцирование функции y=f(kx+m)
  11. Правило дифференцирования. Типовые задачи
  12. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
  13. Исследование функций
  14. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
  15. Дифференцирование и интегрирование показательной и логарифмической функций
  16. Дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем
  17. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла
  18. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла и объем наклонной призмы
  19. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
  20. Понятие определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница
  21. Неопределённый интеграл
  22. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры
  23. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора
  24. Задачи на вычисление площадей плоских фигур