Классы
Предметы

Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур

Измерения

Сегодня мы поговорим о связи фигур и чисел. Самый первый пример, где наглядно видна связь, – измерения. При помощи чисел мы измеряем, например, отрезки. Измеряя, мы сравниваем с эталоном. Мы все знаем, как выглядит отрезок длиной  см, и когда мы измеряем другие отрезки, мы смотрим на то, во сколько раз он больше  см (Рис. 1).

 

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Производя измерения, мы переходим с качественного уровня непосредственно к математике. Например, изображая деталь, опираясь на выполненные измерения, мы получаем чертежи, схемы и т.д (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Геометрия – это измеренное изображение. Если нарисовать отрезок и не указать его длину, то непонятно, какой он (Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Рассмотрим еще один пример сравнения с известным. На любой карте указан масштаб, например,  ( см на карте –  см на местности или  км). То есть на карте мы измеряем расстояние в сантиметрах, а затем, зная, что в каждом сантиметре столько сантиметров, сколько указано в масштабе, вычисляем расстояние между реальными объектами на местности (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

Отношения

Второй важный пример – отношение. Если мы рисуем дом, который видим в окне, и хотим, чтобы рисунок был максимально похож, то должны сохранить некие пропорции (Рис. 5). Отношение высоты и ширины нарисованного дома должны быть такими же, как у реального дома: .

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Когда мы говорим об отношениях (), то для нас имеют значение только сами числа. Мы понимаем, что отношение – это деление, само деление мы можем не писать: например, отношение  мы можем просто заменить упорядоченной парой чисел . При этом пара обязательно должна быть упорядоченной, так как, например,  и  – это разные отношения.

Также парой чисел можно описать угол. Например, угол , под которым видно дерево из точки , можно описать отношением высоты дерева к расстоянию от точки  до дерева (Рис. 6): .

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Если мальчик стоит так, что линия, соединяющая точку с вершиной дерева, проходит через макушку мальчика, то отношение его роста и расстояния от точки до него будет таким же (Рис. 7). Это и есть пропорция: .

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Если же точку  передвинуть, то отношения изменятся (Рис. 8):

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Важно не только то, что равные отношения задают равные углы, а и то, что неравные отношения, задают неравные углы. То есть угол можно однозначно задавать соответствующим отношением длин.

Углы можно измерять и по-другому, указывая, какую часть от полного круга они составляют (Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к примеру

Обычно углы измеряют в градусах, принимая полный круг за . Но можно было бы измерять их отношениями (Рис. 10). Связью между этими измерениями занимается тригонометрия.

Рис. 10. Иллюстрация к примеру

Что еще мы можем сказать о плоских фигурах? Выпуклая она или нет, симметрична или нет, гладкая она или угловатая (Рис. 11). Все это можно просто или сложно выразить в алгебраической форме.

Рис. 11. Примеры выпуклых и невыпуклых, симметричных и несимметричных, гладких и угловатых фигур

Еще одни интересующие нас характеристики – площадь и объем. Они указывают на то, сколько фигура занимает места на плоскости или в пространстве. Измерение площади – это тоже сравнение с эталоном (с  см2) (Рис. 12).

Рис. 12.  квадратный сантиметр

Мы считаем, сколько раз помещается квадратный сантиметр в фигуру (Рис. 13).

Рис. 13. Измерение площади фигуры

С прямоугольником это вычислить несложно. А как быть, если фигура другой формы? Тогда мы стараемся выполнить измерения максимально точно, уменьшая размеры квадратов, которые мы используем в качестве эталонов, а также используя оценки сверху и снизу. Сначала считаем, сколько поместится квадратов площадью  см2 (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру

Посчитав квадраты, мы узнали, что их площадь , то есть мы уже знаем, что площадь фигуры больше, чем : . Затем считаем, во сколько квадратов поместится фигура (Рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к примеру

Фигура поместилась в 424 квадрата: , то есть . Теперь мы знаем, что искомая площадь  лежит в диапазоне: .

Так же можем поступить и с другой фигурой, например, кругом. Выполнив аналогичные действия, получим, что его площадь лежит в таком диапазоне:  (Рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Теперь мы знаем, в каком диапазоне находится площадь. Но мы взяли квадраты площадью  см2, а можно выбрать и меньшую единицу измерения, чтобы посчитать точнее (Рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к примеру.

Так, выбирая все меньшие единицы измерения, можно получить такую точность, которая соответствует цели измерений. При увеличении точности оценки площади снизу и сверху приближаются друг к другу, то есть они стремятся друг к другу, в математике эта идея называется идеей предельного перехода.

В математике этот переход называют леммой о двух милиционерах. Если два милиционера ведут преступника, то он идет туда, куда и они, так как находится между ними. То есть оценка снизу и сверху – это два милиционера, а площадь – это преступник.

Если нужна абсолютная точность, то результат также можно получить. Для окружности, например, формула такая: , где  – радиус окружности. То есть в окружность помещается  квадратов со стороной .

Другие свойства геометрически фигур

Выпуклость

Выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от прямой, проходящей через две его соседние вершины (Рис. 18, 19).

   
Рис. 18. Выпуклая фигура Рис. 19. Невыпуклая фигура

 

 

Для любой фигуры определение будет другим: если любая прямая пересекает фигуру не более чем в двух точках, то такая фигура называется выпуклой (при этом прямая должна содержать хотя бы одну точку внутри фигуры) (Рис. 20, 21).

   
Рис. 20. Выпуклая фигура Рис. 21. Невыпуклая фигура

 

 

Выпуклость также можно задать. Окружность – идеально выпуклая фигура, она одинаково выпукла во все стороны (Рис. 22).

Рис. 22. Окружность

Поговорим о ее экстремальных свойствах. Рассмотрим так называемую задачу Дидоны. По легенде, у Дидоны была шкура животного и она могла взять себе столько земли, сколько сможет охватить этой шкурой. Она разрезала шкуру на очень тонкие полоски, связала их, и получилась очень большая площадь (Рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче

Экстремальная задача такая: как при заданной длине границы получить фигуру максимальной площади? Наибольшая площадь будет именно у круга. Это логично, ведь любой диаметр круга является осью его симметрии.


 

Симметрия

Многие окружающие нас вещи кажутся нам симметричными, например, лицо человека. Если взять фотографию (Рис. 1), разделить на две части, а затем отразить симметрично относительно разреза каждую половинку, то получаются абсолютно разные люди (Рис. 2).

Рис. 1. Фотография

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

То есть мы далеко не симметричны, даже внешне. Но если говорить об идеальных вещах, например, отражение в зеркале, то это уже служит иллюстрацией симметрии. Фигуры также бывают симметричные и несимметричные. Например, у квадрата  оси симметрии (Рис. 3).

Рис. 3. Оси симметрии квадрата

Если говорить об абсолютной симметрии, то ее примером является круг. У круга бесконечное количество осей симметрии (прямые, проходящие через любой из его диаметров) (Рис. 4).

Рис. 4. Пример оси симметрии круга


 

Еще одна выпуклая фигура, которая часто встречается, – эллипс. Эллипс можно задать уравнением (Рис. 24).

Рис. 24. Уравнение эллипса

Его легко начертить: если забить два гвоздика, затем завязать вокруг них веревочку так, чтобы она не была натянута, а после этого, зацепив карандашом веревочку, перемещать его влево и вправо так, чтобы веревочка постоянно оставалась натянутой (Рис. 25).

Рис. 25. Построение эллипса

Из этого построения легко увидеть характеристическое свойство эллипса: сумма расстояний от двух данных точек до любой точки эллипса постоянна (Рис. 25). Эллипс встречается нам во многих конструкциях. Например, если светить фонариком на стену, то освещенным у нас как раз будет эллипс (Рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к примеру

Или, например, эллипс мы видим в сечении конуса (Рис. 27).

Рис. 27. Сечение конуса

Итоги

Важно то, что, изучая фигуры и их свойства, мы можем результаты использовать для решения задач, где встречаются эти фигуры. То есть мы не просто так изучаем свойства треугольника. Полученные для него закономерности можно затем использовать во всех задачах, где нам встретится треугольник.

 

Ссылки на материалы сайта InternetUrok

Математика 1 класс:

  1. Урок «Из­ме­ре­ние длины от­рез­ка»
  2. Урок «Вве­де­ние по­ня­тия «масса»
  3. Урок «Вве­де­ние по­ня­тия «литр»
  4. Урок «Де­ци­метр»

Математика 2 класс:

  1. Урок «Мил­ли­метр»
  2. Урок «Метр»
  3. Урок «Час. Ми­ну­та»
  4. Урок «Пря­мой угол. По­стро­е­ние пря­мо­го угла»

Математика 3 класс:

  1. Урок «Пло­щадь. Спо­со­бы срав­не­ния фигур по пло­ща­ди»
  2. Урок «Еди­ни­ца пло­ща­ди - квад­рат­ный сан­ти­метр»
  3. Урок «Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка»
  4. Урок «Еди­ни­ца пло­ща­ди - квад­рат­ный де­ци­метр»
  5. Урок «Еди­ни­ца пло­ща­ди - квад­рат­ный метр»
  6. Урок «Круг. Окруж­ность (центр, ра­ди­ус, диа­метр)»
  7. Урок «Еди­ни­цы вре­ме­ни. Год, месяц, сутки»
  8. Урок «Еди­ни­цы массы: ки­ло­грамм, грамм»

Математика 4 класс:

  1. Урок «Угол. Виды углов»
  2. Урок «Еди­ни­цы длины. Еди­ни­цы пло­ща­ди. Таб­ли­ца еди­ниц пло­ща­ди»
  3. Урок «Еди­ни­цы массы. Таб­ли­ца еди­ниц массы»
  4. Урок «Еди­ни­цы вре­ме­ни. 24-ча­со­вое ис­чис­ле­ние вре­ме­ни суток»
  5. Урок «По­ня­тие ско­ро­сти. Еди­ни­цы ско­ро­сти»
  6. Урок «Связи между ско­ро­стью, вре­ме­нем и рас­сто­я­ни­ем»

Математика 5 класс:

  1. Урок «От­ре­зок. Еди­ни­цы из­ме­ре­ния длины»
  2. Урок «Из­ме­ри­тель­ные при­бо­ры и шкалы»
  3. Урок «Из­ме­ре­ние ве­ли­чин, еди­ни­цы из­ме­ре­ния»
  4. Урок «Пло­щадь. Еди­ни­цы из­ме­ре­ния»
  5. Урок «Объём»
  6. Урок «Окруж­ность и круг (Ко­ле­бо­шин С.В.)»
  7. Урок «Угол. Пря­мой и раз­вер­ну­тый угол. Чер­теж­ный тре­уголь­ник»
  8. Урок «Из­ме­ре­ние углов. Транс­пор­тир»

Математика 6 класс:

  1. Урок «От­но­ше­ния»
  2. Урок «Про­пор­ции (Слуп­ко М.В.)»
  3. Урок «Из­ме­не­ние пло­ща­дей и объ­ё­мов»
  4. Урок «Длина окруж­но­сти. Пло­щадь круга (Слуп­ко М.В.)»
  5. Урок «Из­ме­не­ние ве­ли­чин»

Геометрия 7 класс:

  1. Урок «Из­ме­ре­ние от­рез­ков»
  2. Урок «Из­ме­ре­ние углов»
  3. Урок «Тре­уголь­ни­ки»
  4. Урок «Виды тре­уголь­ни­ков»

Геометрия 8 класс:

  1. Урок «По­ня­тие пло­ща­ди мно­го­уголь­ни­ка»
  2. Урок «Пло­щадь квад­ра­та. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка»
  3. Урок «Синус, ко­си­нус и тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка»

Геометрия 9 класс:

  1. Урок «По­ня­тие дви­же­ния. Осе­вая и цен­траль­ная сим­мет­рия»
  2. Урок «По­во­рот. За­да­чи»