Классы
Предметы

Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты

Треугольники

Для того чтобы работать с треугольниками или другими объектами, нужно понимать, какой бывает объект и чем он отличается от других похожих. Например, посмотрим на два треугольника (Рис. 1).

Рис. 1. Два разных треугольника

Понятно, что они разные.

Рассмотрим два других треугольника (Рис. 2).

Рис. 2. Треугольники одинаковой формы, но разных размеров

Они уже чем-то похожи, они одинаковой формы, но разных размеров.

Третья пара треугольников (Рис. 3).

Рис. 3. Равные треугольники

Если их совместить, то мы увидим, что они совпали. Когда фигуры совмещаются при наложении, мы говорим, что они равны.

Когда фигуры похожи, пропорциональны, мы говорим, что они подобны. То есть можно так на них смотреть, что они совместятся (Рис. 4).

Рис. 4. Подобные треугольники

У треугольника три угла, три стороны. Треугольник можно задать тремя числами (не любыми). Например, задать три стороны треугольника. В таком случае эти три числа должны удовлетворять неравенству треугольника, иначе такого треугольника не будет существовать (Рис. 5).

Рис. 5. Неравенство треугольника

Если это условие выполнено, то существует единственный треугольник с такими сторонами.

По трем углам нельзя однозначно задать треугольник, однако три угла задают его с точностью до подобия. Мы уже говорили в примере с мальчиком и деревом, что дерево задает большой прямоугольный треугольник, а мальчик – маленький, но углы у этих треугольников равны (Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Почему три стороны задают треугольник, а три угла – нет? Потому что периметр (сумма длин сторон) может быть любым, а сумма углов постоянна () (Рис. 7).

Рис. 7. Сумма углов треугольника

Когда у нас сумма трех величин постоянна, то, зная две, мы можем найти третью. То есть двух углов достаточно, чтобы определить все три угла. Когда мы задаем три угла треугольника, мы на самом деле задаем не три элемента, а два. Двух элементов недостаточно, чтобы задать треугольник. Поэтому углы задают только множество подобных треугольников (Рис. 8), и, чтобы задать какой-то конкретный треугольник из этого множества, нужно задать еще один элемент – одну из сторон треугольника.

Рис. 8. Подобные треугольники

Еще один вариант: задать две стороны и угол между ними. Важно, что необходимо задать именно угол между известными сторонами. Вы видите пример, когда треугольники имеют две одинаковые стороны и равный угол, но не являются равными (Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к примеру

Координаты

Один из важнейших примеров связи чисел с геометрией – это адреса. Числами можно называть адреса точек (координаты). Мы привыкли, что у нас есть адреса на улицах. Например, улица Советская (Рис. 10), а по ней идут номера домов, мы знаем, что за номером 3 идет номер 5, а за ним – номер 7 (если это нечетная сторона).

Рис. 10. Нумерация домов

Так было не всегда. Такие названия очень удобны, если бы мы каждый дом называли каким-то словом, то найти нужный было бы трудно. При нашей нумерации мы легко можем понять, в ту ли сторону мы движемся и сколько еще домов нужно пройти. Если нам нужно пройти к 17 дому, а я прошел 3, а затем 5, то понятно, что я иду в правильном направлении (Рис. 11).

Рис. 11. Выбор направления

Еще один пример – нумерация вагонов поезда: если у меня билет в 8 вагон, а я прошел пятый, а затем шестой, то я двигаюсь в правильном направлении (Рис. 12).

Рисунок 12. Поиск нужного вагона

Если бы вагоны просто были названы словами, то мы не знали бы, в какую сторону идти (Рис. 13).

Рисунок 13. Иллюстрация к примеру

Другие примеры, где используются адреса:

1. километровые столбы на дороге (Рис. 14). Например, от Санкт-Петербурга я отъехал на 53 км, дорога – это направление, а я знаю расстояние, которое проехал;

Рис. 14. Километровые столбы

2. шахматы (Рис. 15);

Рис. 15. Шахматы

3. морской бой (Рис. 16);

Рис. 16. Морской бой

4. координаты на карте, глобусе (Рис. 17).

Рис. 17. Координаты на глобусе

Числа задают порядок в пространстве, в котором мы живем.

 

Ссылки:

1) Урок «Плоскость, прямая, луч, треугольник, угол»

2) Урок «Координаты на прямой» 

3) Урок «Координатная плоскость»

4) Урок «Координатная прямая»

5) Урок «Координатная плоскость. Терминология»

6) Урок «Первый признак равенства треугольников» 

7) Урок «Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников»

8) Урок «Второй и третий признаки равенства треугольников»

9) Урок «Виды треугольников»

10) Урок «Задачи на углы треугольника» 

11) Урок «Неравенство треугольника»

12) Урок «Построение треугольника по трем элементам» 

13) Урок «Подобие общих фигур»

14) Урок «Первый признак подобия треугольников»

15) Урок «Второй признак подобия треугольников» 

16) Урок «Третий признак подобия треугольников» 

17) Урок «Треугольники»