Классы
Предметы

Точность и округление

Есть ли абсолютная точность?

В жизни мы всё время округляем. Например, когда нас спрашивают: «Который час?», мы часто отвечаем приблизительно, потому что хотим дать ориентир по времени и плюс-минус 5 минут не так важны. Но если человек опаздывает на поезд, то ему такая точность не подойдёт, потому что ценность минуты для него существенно выше (Рис. 1).

Рис. 1. Точность времени

Поэтому точность определяется целью измерения. Каждая задача имеет свою, потребную для этой задачи, точность. Для нее может быть достаточная или избыточная точность, а абсолютной точности не бывает.

И речь не только о математике: ни о чем нельзя сказать точно. Кажется, назовешь совершенно конкретный предмет, но оказывается, что ты сказал о нем неточно. Например, сказал: «Стол». Вроде бы точно. Но столы бывают разные – из какого материала он сделан? Скажем: «Деревянный стол». Возникнет вопрос: а какие у него закругления и т.д.

Может появиться возражение: «Как это нельзя? Вот, например, два одинаковых стула – это абсолютно точно» (Рис. 2).

Рис. 2. Два одинаковых стула

На самом деле неточность просто перешла в другое место. Они не идеально одинаковые, если присмотреться, то у одного есть трещина, а у другого нет и т.д.

 

Рис. 3. Различия в одинаковых стульях

Если же мы уточняем цель задачи описания стульев (например, нас интересует, сколько людей можно на них посадить), тогда нам не важны трещины и прочие отличия. Главное, что на обоих стульях можно сидеть, и для такой цели стулья будут одинаковыми. Можно поставить еще третий стул, и он для нашей цели будет таким же, как и предыдущие два ( места для сидения), хотя будет выглядеть совершенно по-другому (Рис. 4).

Рис. 4. Три одинаковых стула – места для сидения

Повторим важный вывод: точность и округление зависят от задачи, которую мы решаем.

Экономическая и достижимая точность

Бывают случаи, когда точность действительно важна. К примеру, при изготовлении деталей для какой-то машины или прибора на заводе. Особенно, если эти детали производят на разных заводах и потом в отдельном месте собирают. В таком случае точность очень важна: если одна деталь будет плохо подходить к другой, то вся машина или прибор будут работать некачественно (или вообще не будут работать). С другой стороны, чем выше требования к точности, тем больше будет стоимость производства каждой из деталей и конечного продукта в целом.

Поэтому различают такие понятия, как достижимая точность и экономическая точность. Скажем, самолёт состоит из десятков тысяч деталей, они все делаются на разных заводах и должны быть подогнаны друг к другу. Грубо говоря, сидение должно поместиться в отверстие, которое было сделано под него.

Рис. 5 Сборка самолёта

Но если поставить задачу делать все детали с максимально достижимой (технически) точностью, то стоимость самолета может вырасти в разы. Поэтому говорят об экономической точности, то есть минимальной по стоимости точности обработки деталей, при которой будут достигаться необходимая эффективность (безопасность, надёжность).

Ошибка при округлении в многозвенных структурах

Есть и другой пример того, что точность может быть критически важна.

Предположим, есть две реки, которые впадают в водохранилище. Известно, что при определенном критическом уровне водного потока нужно перекрыть водосток, чтобы не допустить наводнения (Рис. 6).

Рис. 6. Реальная ситуация с водостоком в реках

Если каждый из операторов передаст округленное значение, и мы их сложим, то суммарный уровень воды окажется меньше критического, мы не будем опускать решетку и произойдет наводнение (Рис. 7).

Рис. 7. Ситуация с водостоком в реках, которую получает оператор водохранилища

В рассмотренном примере каждый из операторов округляет до десятых и в результате получается довольно большая погрешность. Если бы они передавали показания с точностью до сотых и округление мы бы выполнили только при суммировании, а затем принимали решение, то ошибки бы не было (Рис. 8).

Рис. 8. Какая точность информации о водостоке необходима

Получается, что человек, который находится во главе любой структуры (будь то директор предприятия, премьер-министр или президент), должен учитывать, какую погрешность допустили те, кто передавал ему данные.

В многозвенной системе суммарная ошибка при округлении может быть очень большой (хотя в каждом отдельном звене отклонение при округлении будет маленьким, но большое количество звеньев приведёт к накоплению), и, как следствие, может быть принято неправильное решение.

Проиллюстрируем это таким примером: мы собираем данные по школам, затем сводим их по районам, затем передаем эти данные в областные органы и т.д. В качестве собираемой информации возьмем относительно небольшую величину (например, количество медалистов). Округления на каждом из этапов могут исказить окончательные результаты кардинально. Мы можем получить отклонение в несколько процентов как в большую, так и в меньшую сторону. Соответственно, манипуляция статистическими данными возможна: если мы все сначала округлим до десятых, а потом сложим или все сложим, а затем округлим до десятых, то можем получить два существенно отличающихся результата (Рис. 9).

Рис. 9. Разные варианты округления данных по количеству медалистов

Аналогичным образом дело обстоит с системой голосования на выборах. Есть прямая система выборов президента (как, например, в России), а есть непрямая система (например, в США), с использованием выборщиков: страна разбита на какое-то количество штатов и голоса населения каждого штата представляют своими голосами определенное количество выборщиков. При этом все выборщики штата А голосуют за кандидата, который набрал в этом штате больше  голосов.

Фактически мы округляем голоса всех жителей штата в пользу кандидата, который набрал в этом штате большинство. Но ошибка округления при этом может сильно отличаться: если кандидат набрал  голосов штата, то после округления с помощью голосования выборщиков дополнительно он получит всего лишь , а если  - то целых . Учитывая, что население по штатам может быть распределено неравномерно, может возникать ситуация, при которой по стане большинство проголосовавших будет за кандидата , а большинство выборщиков – за кандидата В, который и станет президентом (Рис. 10, 11). В  году такая ситуация произошла на выборах президента США.

Рис. 10. Распределение проголосовавших и выборщиков в разных штатах

Рис. 11. Возможные результаты выборов при непрямой системе голосования

Ошибки при округлении

Существует еще один пример. Посчитаем  на обычном (не инженерном) калькуляторе, а затем умножим полученное число на себя. По идее должно получиться , однако на экране мы увидим . Это связано с тем, что когда калькулятор считает , он выполняет округление (по количеству знаков, которые помещаются на экране), а умножаем на себя мы уже это округлённое число, поэтому и получаем почти , но не в точности  (Рис. 12).

Рис. 12. Ошибка округления при вычислении на калькуляторе

Поэтому, когда производят расчеты при решении физических задач, важно понимать, с какой точностью нужно выполнять каждый шаг вычислений. Часто учителя физики просят не делать промежуточные вычисления, а доводить задачу до получения рабочей формулы в общем виде, не подставляя числа (Рис. 13).

Рис. 13. Пример решения задачи по физике без промежуточных вычислений

Это один из способов обезопасить себя от ошибки округления. Выполняя промежуточные вычисления, мы будем округлять полученные промежуточные значения. Ошибка может накапливаться, и результат будет отличаться от правильного. Заранее не всегда можно угадать, с какой точностью нужно выполнять вычисления, чтобы ошибка не накопилась. Если ответ проверяет компьютер, то даже небольшая ошибка из-за промежуточных округлений может привести к тому, что ответ не будет засчитан как правильный.

Есть еще один хороший пример того, как небольшое отклонение может привести к большой суммарной ошибке. Возьмите большое количество одинаковых книг (например, Большую Советскую энциклопедию) и попробуйте выложить их одну на другую в стопку. Дойдя до определённого количества книг, мы увидим, что стопка обязательно разрушится. Это связано с тем, что вы не можете в точности сделать так, чтобы центр тяжести предыдущей книги совпадал с центром тяжести следующей (Рис. 14).

Рис. 14. Стопка из одинаковых книг

Также нет окружности, отношение длины которой к радиусу в точности равно . Невозможно начертить такую окружность, потому что нет такой точной линейки (Рис. 15). Окружность, по определению, – это все точки, находящиеся на одном расстоянии от заданной. Но в самом определении содержится ошибка, если учесть точность измерения реальной линейкой. Само число , как характеристика идеального математического объекта – окружности, содержит в себе бесконечную точность, но для практических вычислений всегда приходится округлить его с точностью до некоторого знака (например, эту точность может определять инженер, который соотносит её с точностью расчетов, которые ему надо провести).

Рис. 15. Идеальные и реальные объекты

Даже окружность, изображённая на экране компьютера, – это на самом деле большой правильный n-угольник (Рис. 16).

Рис. 16. Окружность на экране компьютера

Округление и точность в литературе

Округление и точность тесно связаны друг с другом. В жизни мы постоянно округляем, всё время действуем и говорим не совсем точно. Сколько бы мы ни говорили, высказать абсолютно точно свои мысли невозможно. С другой стороны, нам никогда абсолютно точно и не нужно этого делать. У нас всегда есть задача, которую мы в данный момент решаем, а для данной задачи всегда есть конкретная точность.

Об этом есть несколько стихотворений, которые полезно прочитать:

Silentium!

Молчи, скрывайся и таи

И чувства и мечты свои –

Пускай в душевной глубине

Встают и заходят оне

Безмолвно, как звезды в ночи, –

Любуйся ими – и молчи

 

Как сердцу высказать себя?

Другому как понять тебя?

Поймет ли он, чем ты живешь?

Мысль изреченная есть ложь.

Взрывая, возмутишь ключи,

Питайся ими – и молчи.

 

Лишь жить в себе самом умей –

Есть целый мир в душе твоей

Таинственно-волшебных дум;

Их оглушит наружный шум,

Дневные разгоняй лучи, –

Внимай их пенью – и молчи!..

Ф.И. Тютчев

 

Милый друг, иль ты не видишь,

Что все видимое нами –

Только отблеск, только тени

От незримого очами?

 

Милый друг, иль ты не слышишь,

Что житейский шум трескучий –

Только отклик искаженный

Торжествующих созвучий?

 

Милый друг, иль ты чуешь,

Что одно на целом свете –

Только то, что сердце сердцу

Говорит в немом привете?

В.С. Соловьёв

 

Существует поговорка: «Не ошибается тот, кто ничего не делает». Её можно интерпретировать следующим образом: как только ты начинаешь что-то делать, в любом случае где-то получится ошибка, не надо этого бояться.

Выводы

Абсолютной точности не существует практически нигде. Если точность не может быть абсолютно достижима, то нужно понимать, как правильно округлить. Для того чтобы общаться, нужно что-то сообщать, а значит, какую-то часть информации мы упускаем (всю информацию передать невозможно). Значит, точность определяется целью задачи, которую мы решаем.

 

Ссылки на материалы InternetUrok.ru

  1. Приближённые вычисления
  2. Приближенные значения действительных чисел
  3. Округление чисел
  4. Площадь круга
  5. Длина окружности. Площадь круга (Вольфсон Г.И.)
  6. Уравнение x2=a. Нахождение приближенных значений квадратного корня