Классы
Предметы

Уравнения и неравенства

Обозначения

На этом уроке мы будем обсуждать уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства в математике – это некий «рычаг», который позволяет сделать то, что сходу выполнить нелегко. Самая главная идея при решении задач, которые предлагаются в школе, – это обозначения.

Предположим, что мы знаем, сколько стоит одно яблоко, обозначим его цену через  (см. рис. 1).

Рис. 1. Обозначение стоимости яблока

Или предположим, что мы знаем скорость человека, который вышел из пункта  в пункт  (см. рис. 2).

Рис. 2. Обозначение скорости человека

Этот прием переписывания условия задачи в новых обозначениях приводит нас к уравнениям.

Уравнения

Уравнения – это эквивалентная запись некоторой информации, которая обычно представлена в текстовом виде. Например:  кг яблок и кг апельсинов стоят вместе  рублей. Мы можем переписать это в виде:  (см. рис. 3). Вот мы уже получили математическую запись некоторой информации.

Рис. 3. Математическая запись условия задачи

На первый взгляд, кажется, что из условия известно немногое ( кг яблок может стоить  рублей, а  кг апельсин –  рублей, или же  кг яблок может стоить  рублей и  кг апельсин – тоже  рублей), но на самом деле, из всех возможных вариантов это уже достаточно существенное ограничение (см. рис. 4).

Рис. 4. Ограничение на стоимость яблок и апельсинов

Забегая вперед, можно сказать, что при визуализации это будет какая-то линия. Из всего бесконечного числа возможных вариантов останется только небольшое количество.

Возьмем координатную плоскость. По одной оси мы будем откладывать стоимость яблок, а по другой – стоимость апельсинов так, чтобы их суммарная стоимость равнялась  рублям. Получаем отрезок (см. рис. 5).

Рис. 5. График общей стоимости яблок и апельсинов

Бесплатных яблок и апельсинов не может быть, поэтому крайние точки отрезка «выколоты».

Уравнения позволяют нам записать информацию в таком виде, чтобы впоследствии с ней можно было выполнять уже известные нам технические приемы.

Стоит поговорить о двух составляющих уравнений и неравенств: суть (как мы их получаем и откуда они берутся) и техника (что делать после их составления).

Наблюдаемая и вычисляемая информация

Возьмем, например, детективы. Все, с чем имеет дело сыщик, – это след, оставленный преступником (наблюдаемая информация) (см. рис. 6).

Рис. 6. Улики, оставленные преступником

Единственный, кто знает все заранее, – это автор детектива. Он решает прямую задачу, придумывая цепочку зацепок для детектива.

Аналогично в школе на любой контрольной учитель выступает в роли автора детектива (он составляет задачи), а ученики – это сыщики, которые по данному условию должны восстановить величины, о которых спрашивают в задаче.

Составление задач

Для того чтобы лучше решать уравнения, нужно периодически тренироваться их составлять.

Например, зная, что яблоки стоят  рублей, а апельсины –  рублей, можно поставить задачу:  (см. рис. 7).

Рис. 7. Составление уравнения для условия задачи

Затем нужно уравнения перевести в текстовую форму записи: « килограмм яблок и  килограмм апельсинов вместе стоят  рублей. При этом  килограмм апельсинов дороже  килограмма яблок на  рублей. Сколько стоит  килограмм яблок и  килограмм апельсинов?» (см. рис. 8). То есть научиться не убирать всю лишнюю информацию и сводить все к математическим уравнениям и неравенствам, а, наоборот, из математических уравнений и неравенств составить полноценную задачу.

Рис. 8. Составление условия задачи в текстовой форме

В жизни мы довольно часто наблюдаем и решаем нематематические примеры.

Например, придя домой и увидев  незнакомые пары обуви, мы знаем: пришли гости. Мы их еще не видели и не слышали, но уже знаем о них (см. рис. 9).

Рис. 9. Пример вычислений из жизни

В повседневной жизни мы всегда что-то вычисляем по наблюдаемой информации.

Зазвенели стекла, значит, рядом проехал трамвай. Если в школьном коридоре прекратился шум, значит, был звонок и перемена закончилась (даже если звонка не было слышно).

Для этих же целей и нужны уравнения, чтобы имеющуюся информацию обработать и произвести с ней какие-то действия для получения нужной информации.

Уравнения содержат минимум информации. Разные задачи могут сводиться к похожим уравнениям (см. рис. 10).

Рис. 10. Разные задачи, которые сводятся к похожим уравнениям

Если заменить конкретные числа на коэффициенты, то увидим, что уравнения, которые получаются для решения задач, одного типа.

Если мы научимся решать такую систему уравнений (придумаем алгоритм для ее решения), то научимся решать все похожие задачи. То есть большой спектр задач мы сводим к решению нескольких типов уравнений. Если получится свести задачу к уравнениям, которые мы умеем решать, то ее уже можно считать решенной.

Задача про землекопов

Два человека вместе вскопали огород за  часов. Если бы они работали по отдельности, то первый вскопал бы весь огород в  раза быстрее, чем второй. Сколько времени нужно, чтобы вскопать огород самостоятельно каждому из них?

Свести ее к уравнению можно простым переписыванием условия на математическом языке.

Для решения практически всех задач такого типа достаточно знать одну формулу:

Это универсальная формула для вычисления скорости. Например если задача про бассейн, то  – это не путь, а объем воды.

В нашем случае  – это скорость вскапывания,  – время работы,  – площадь всего огорода.

Теперь мы можем записать первую часть условия в виде уравнения: «Два человека вместе вскопали огород за  часов».

Они работали со скоростью , вскопали весь огород площадью , за время  часов:

Вторую часть условия: «Если бы они работали по отдельности, то первый вскопал бы весь огород в  раза быстрее, чем второй» – можно эквивалентно переписать в виде другого уравнения. Обозначим через  и  время, которое требуется каждому человеку, чтобы вскопать огород самостоятельно. Главное – не бояться вводить новые обозначения. Даже если получится много неизвестных, то они потом все равно исчезнут при подстановке и останется несколько неизвестных. Для каждого по отдельности можно записать следующие уравнения:

Но первый вскапывает огород в два раза быстрее, поэтому можно записать:

Теперь нужно объединить это все в систему, и, выражая одни неизвестные через другие, можно получить обычную систему уравнений. Можно даже сразу получить уравнение с одой неизвестной (см. рис. 11).

Рис. 11. Решение задачи про вскапывание огорода

Никаких специальных действий или алгоритмов в ходе решения мы не выполняли. Мы просто переписали условие и воспользовались техникой решения системы уравнений.

Этапы решения задач

На первом этапе решения задач нужно переписать условие задачи в новых обозначениях, чтобы в дальнейшем нам было удобно с ними работать. В школе это называется составлением математической модели.

Вторым этапом является решение составленных на первом этапе уравнений с использованием уже известных методов решения (см. рис. 12).

Рис. 12. Этапы решения задач

Очень часто в школе рассказывают саму технику решения уравнений, но не объясняют, для чего она нужна. Важно подчеркнуть, что техника решения уравнений является универсальной. Можно провести аналогию с машиной. С помощью машины можно перевозить абсолютно разные вещи, а с помощью техники решения можно решать много различных задач. 

Идея изучения состоит в том, чтобы понять, как переписать информацию в том виде, в котором с ней можно работать с помощью математической техники.

Для решения полученных в результате составления математической модели уравнений уже можно написать программу, которая выполнит все вычисления по известному алгоритму, но все-таки для того чтобы понять, как переписать условие задачи на математическом языке, нужен человек (по крайней мере пока).

Система уравнений

Когда мы решаем уравнение или систему уравнений, может возникнуть вопрос: «Чем же они отличаются?». Понятно, что система – это несколько уравнений. Но что это значит с точки зрения информации? Уравнение – это информация, а система – это более полная информация.

Можно привести пример из жизни. Если сказать, что дом находится на улице Чайковского, то под это описание попадает большое количество домов. А если сказать, что дом находится на пересечении улицы Чайковского и улицы Чернышевского, то количество подходящих домов сузится до  (см. рис. 13).

Рис. 13. Уточнение месторасположения дома

Таким образом, одновременное выполнение нескольких условий – это уточнение информации.

Например: «Машина ехала со скоростью  км/ч в течение  часов. Где находится машина?». Точно определить место нахождения машины невозможно. Можно лишь сказать, что она находится внутри круга радиуса  км (см. рис. 14). Из этого можно записать неравенство, что путь, который проехала машина,  км.

Рис. 14. Возможные варианты местонахождения машины

Если мы уточним, что машина ехала по ровному шоссе, и зададим угол, под которым она ехала, то мы можем точно сказать, где находится машина (см. рис. 15).

Рис. 15. Точное местонахождение машины

Противоречивая информация

Когда мы что-то уточняем, это позволяет однозначно идентифицировать объект или какие-то его характеристики.

Но бывают такие ситуации, кода уточнения являются противоречивыми. Это противоречие приводит к тому, что мы не можем решить задачу в принципе.

Это можно продемонстрировать на примере задачи с яблоками и апельсинами.

Задача:  килограмм яблок и  килограмм апельсинов вместе стоят  рублей. При этом  килограмм апельсинов дороже  килограмма яблок на  рублей. Сколько стоит  килограмм яблок и  килограмм апельсинов?

Составим систему уравнений:

Решим ее:

В результате получается, что яблоки стоят  рублей, но такого быть не может. Это значит, что на каком-то этапе (измерения или составления условия) появилась ошибка.

Это наглядный пример противоречивой информации.

Еще один пример уточнения информации можно взять из книжек. Если сказано, что клад расположен между дубом и березой, то придется рыть канаву длиной от одного дерева до другого. А если уточнить, что клад также находится между сосной и камнем, то становится ясно, где именно находится клад (см. рис. 16). Место нахождения клада можно описать как пересечение двух прямых на плоскости.

Рис. 16. Место нахождения клада

В качестве примера также можно привести вопрос из телепередачи «Что? Где? Когда?».

Как охотники при занятии бортничеством (добыча меда диких пчел) определяли, где находится улей?

Эта задача также на поиск пересечения. Берутся две пчелы, которые сидят на одном цветке (чтобы они точно были из одного улья), и запускаются из разных точек. На пересечении их траекторий область поиска сужалась до какой-то небольшой местности. Если, допустим, пчел поймали в поле, то понятно уже, в каком направлении двигаться в лесу (см. рис. 17).

Рис. 17. Определение местонахождения улья

Неравенства

Мы уже поговорили об уравнениях, теперь стоит поговорить о неравенствах. На первый взгляд, это совершенно разные вещи.

Неравенство – это тоже информация, но менее точная. Можно сказать, что мы прошли  км или что мы прошли не больше  км. Во втором случае мы могли пройти  км,  км или же вообще могли стоять на месте (см. рис. 18).

Рис. 18. Разница между уравнением и неравенством

В этом плане информации в неравенствах меньше, но для решения каких-то задач наличие неравенства является полезным.

Например когда мы говорим, что у нас есть несколько машин и нам известен максимальный вес, который может перевести каждая из машин, то мы знаем суммарную грузоподъемность всех машин (она ограничена). Учитывая это, можно определить максимальное количество груза, которое можно перевезти на этих машинах (не больше определенного значения) (см. рис. 19).

Рис. 19. Применение неравенств для решения задачи с грузоподъемностью

Возвращаясь к задаче про апельсины и яблоки, исходя из того, что вместе они стоят  рублей, можно записать неравенства для стоимости фруктов по отдельности. Стоимость отдельно яблок и отдельно апельсинов не может превышать общую стоимость. Также стоимость не может быть отрицательной (см. рис. 20). 

Рис. 20. Неравенства для стоимости яблок и апельсинов

Решение транспортных задач в экономике заключается в нахождении граничных точек (максимума и минимума). То есть у нас есть ограничения на показатели (стоимость, объем, масса и т. д.) и есть какая-то величина, которую мы хотим получить минимальной (или максимальной). В качестве таких величин могут выступать минимальные затраты или максимальная прибыль.

Решение систем таких неравенств и нахождение максимума (минимума) – это отдельный класс задач, на которых основывается логистика.

Неравенства также позволяют работать с информацией, только для решения некоторых задач одних неравенств может быть достаточно, а для некоторых может потребоваться более точная информация в виде уравнения.

 

Ссылки

  1. Линейное уравнение с одной переменной (Г.И. Вольфсон)
  2. Решение уравнений (Вольфсон Г.И.)
  3. Решение уравнений
  4. Линейные уравнения и системы линейных уравнений
  5. Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
  6. Основные определения, примеры системы двух уравнений
  7. Линейное уравнение с одной переменной (В.А. Тарасов)
  8. Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Математические модели реальных ситуаций
  9. Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Математические модели реальных ситуаций
  10. Выражение. Равенство. Неравенство. Уравнение
  11. Общие методы решения уравнений
  12. Решение задач и уравнений (продолжение)
  13. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений
  14. Иррациональные уравнения
  15. Первые представления о решении рациональных уравнений
  16. Системы уравнений. Метод подстановки
  17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных
  18. Решение логарифмических уравнений
  19. Решение уравнения
  20. Основные понятия, решение линейных неравенств
  21. Рациональные неравенства и системы. Метод интервалов
  22. Рациональные неравенства и их системы. Системы линейных и квадратных неравенств
  23. Неравенства с модулями
  24. Решение логарифмических неравенств
  25. Логарифмические неравенства
  26. Показательно-степенные неравенства
  27. Показательные неравенства. Более сложные случаи
  28. Линейные неравенства и их системы; модуль
  29. Решение рациональных неравенств методом интервалов
  30. Решение квадратных неравенств
  31. Решение линейных неравенств
  32. Уравнения и неравенства с двумя переменными
  33. Показательные неравенства