Классы
Предметы

Векторы и координаты

Координаты в повседневной жизни

Сегодня речь пойдет о векторах и координатах. Мы знаем, что число – это инструмент для работ с количеством. Но некоторые вещи невозможно описать с помощью одного числа (необходимо как минимум два). Например, параметры человека – рост и вес, или параметры здоровья – верхнее и нижнее артериальное давление (см. рис. 1).

Рис. 1. Параметры человека

Все эти параметры можно записать в виде набора чисел (см. рис. 2). Этот набор чисел характеризует человека в некотором пространстве. Например, для врача это может быть набор персональных данных. Чем больше параметров, тем более точно может быть описан объект.

Рис. 2. Набор параметров человека

В физике чаще всего такие наборы чисел встречаются при описании либо положения некоторого объекта в пространстве, либо физических величин (сила, импульс и т.д.).

Приведем самый простой пример из жизни, где для описания необходима пара чисел, с которым сталкивался каждый, – место в кинотеатре. В качестве пары чисел в данном случае выступает номер ряда и номер места (см. рис. 3). Это классическая система координат, она была придумана Декартом для нумерации мест в театре.

Рис. 3. Система координат на примере нумерации мест в театре

Важно, что в данном случае каждое из чисел является упорядоченным (вслед за рядом  идет ряд ). По этому набору из двух чисел можно однозначно и быстро определить свое место.

Однако, если рядом с вами сидит человек в футболке с номером  это не означает, что рядом с ним сидит человек в футболке с номером  (такой футболки вообще может не быть). То есть в первом случае с помощью чисел задан порядок, а во втором – нет, они выполняют только функцию имени.

Термин «координата» состоит из латинской приставки «ко-» (то же, что и «кон-», – «вместе») и основы «ордина́тус» — «приведенный в порядок».

В качестве примера использования координат также можно привести электронные таблицы Excel и игру в «Морской бой» (см. рис. 4). Тут в качестве пары, определяющей местоположение, выступает набор «буква-число» (например  и т.д.).

Рис. 4. Примеры координат

Использование набора чисел для описания объекта – удобный инструмент, потому что числа – это бесконечный и упорядоченный способ нумерации (с помощью  цифр можно записать сколь угодно большое число).

Соответственно положение любой точки в пространстве можно описать с помощью координат.

По аналогии с местами в кинотеатре можно задать местоположение города на карте. В этом случае парой чисел будет географическая широта и географическая долгота (см. рис. 5).

Рис. 5. Координаты города на карте

Способы задания системы координат

Есть ситуации, когда мы можем по-своему задавать координаты. Рассмотрим, например, два города  и . Расположение этих городов можно задать по-разному. В качестве пары чисел можно взять расстояние в направлении севера и востока (см. рис. 6), а можно взять расстояние в направлении северо-востока и юго-запада (см. рис. 7). 

Рис. 6. Расположения города  относительно города  в координатах «север – восток»

Рис.7 Расположения города  относительно города  в координатах «северо-восток-юго – запад»

В физических задачах мы сами задаем систему координат, поскольку местоположение или сила не зависят от того, какую систему координат мы выбрали (положение города не зависит от способа задания координат (см. рис. 8)). В зависимости от выбранной системы координат меняется только наше описание, а не само положение объекта.

Рис. 8. Различные системы координат для определения местоположения города

Более того в качестве начала системы координат можно задать сам город , тогда положение всех остальных объектов будет отсчитываться от него.

Такая произвольность в выборе системы координат очень важна, потому что одна и та же задача в разных системах координат может решаться с разной сложностью.

Очень часто на уроках в школе пропускают тот факт, что сам вектор не меняется, а вот его проекции могут меняться в зависимости от выбора системы координат.

Проекция

Проекция вектора – это то, что получится, если опустить вектор на выбранные оси координат. На плоскости у нас  оси координат, соответственно будет  проекции вектора (см. рис. 9).

Рис. 9. Проекции векторов

Представьте, что в комнате стоят два экрана, на которые светят два источника света. Один человек следит за первым экраном, а второй – за вторым, расположенным перпендикулярно первому. Оба наблюдают за движением тела в определённой плоскости. По отдельности наблюдатели увидят лишь некоторое перемещение в горизонтальном направлении, а сопоставив проекции можно полностью описать движение тела (см. рис. 10).

Рис. 10. Проекция движения тела

Более того, если повернуть (или сдвинуть) один из экранов, то движение останется прежним, а поменяется только его описание (см. рис. 11). Но когда мы совместим эти описания, результат не изменится (ведь и само движение объекта не менялось).

Рис. 11. Второй вариант описания движения тела

То есть в данном случае проекция – это тень, которую отбрасывает тело.

Представим себе вектор на плоскости и два источника света (горизонтальный и вертикальный). Тень, которая будет на осях координат, и будет проекцией данного вектора (см. рис. 12).

Рис. 12. Проекция вектора на оси координат

Рассмотрев две проекции вектора, можно сказать, что любой вектор можно однозначно задать с помощью его проекций. Два разных вектора всегда дадут разные наборы из двух проекций (см. рис. 13.).

Рис. 13. Проекции двух разных векторов

Существует теорема: любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным (не параллельным) векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом (см. рис. 14).

Рис. 14. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Векторы, по которым раскладывается данный вектор, не обязательно должны быть перпендикулярными. Главное, чтобы они не были параллельными. В нашем примере экраны тоже не обязательно должны быть перпендикулярны, они могут располагаться под различными углами. Разница только в том, что с перпендикулярными экранами вычисления будут проще.

Часто в жизни бывает так, что знание одного человека сталкивается со знанием другого и в результате получается более полная картина.

Например, если одному мальчику нравится девочка, но он знает только ее имя, то ему будет сложно ее найти. А если его друг знает, из какого она города, то, обменявшись информацией, девочку будет проще найти (см. рис.15).

Рис. 15. Обмен информацией при поиске

Координаты вектора

Описать положение любого вектора на плоскости можно парой чисел (см. рис.16). А как мы говорили ранее, такая пара чисел называется координатами. То есть фактически вектор на плоскости задается двумя числами (в пространстве тремя).

Рис. 16. Координаты вектора

Все действия с векторами (сложение, вычитание, умножение и т.д.) мы можем заменять действиями с их координатами.

Часто люди думают, что в суде два свидетеля нужны потому, что один из них может соврать. Но на самом деле это не единственная причина. Два свидетеля дают две разные точки зрения, в результате чего получается более полная картина произошедшего. Даже геометрически один свидетель мог видеть происшествие с одной стороны, а второй – с другой стороны.

Действия с векторами

Поскольку вектор – это упорядоченная пара чисел, то мы можем заменить действия с векторами действиями с числами.

Конечно, если сложить два билета в театр, то мы не получим место, где можно сидеть вдвоем. Но на плоскости перемещения можно складывать.

Если мы из пункта  поехали в пункт , а затем в пункт  ,  то понятно, что мы переместились из пункта  в пункт   (см. рис. 17). В этом заключается геометрическое «правило треугольника».

Рис. 17. Правило треугольника для перемещения

«Правило параллелограмма» применяют в том случае, если две силы действуют из одной точки и нужно найти их равнодействующую (см. рис. 18). Но суть у правила треугольника и параллелограмма одна и та же (потому что у параллелограмма противоположные стороны, а, значит и векторы, построенные на них, равны).

Рис. 18. Правило параллелограмма

Мы все этим пользуемся, просто в математике все формализовано, так как необходимо решать различные задач (нужно складывать силы, умножать скорости, получать их проекции в разных системах координат и т.д.).

То, что мы сказали про двух свидетелей в суде, можно сказать и про двух рассказчиков, которые рассказывают об одном событии. В результате у слушателей получается более полное впечатление.

Наша беседа о векторах – это пример двух проекций. Каждый собеседник вносит свой вклад и в результате материал получается более информативным.

 

Ссылки:

  1. Компланарные векторы
  2. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи
  3. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
  4. Координаты вектора
  5. Сложение и вычитание векторов
  6. Понятие вектора. Задачи
  7. Векторы. Решение задач
  8. Угол между векторами
  9. Скалярное произведение векторов
  10. Векторы
  11. Понятие вектора. Равенство векторов
  12. Скалярное произведение векторов
  13. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах
  14. Применение векторов к решению задач
  15. Применение векторов к решению задач (продолжение)
  16. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
  17. Векторы. Решение более сложных задач
  18. Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора
  19. Решение задач с применением векторов
  20. Задачи на разложение вектора по трём некомпланарным векторам (более сложные случаи)
  21. Метод координат
  22. Координаты на прямой
  23. Простейшие задачи в координатах
  24. Формулы для вычисления координат точки
  25. Координаты. Решение задач
  26. Координатная плоскость. Терминология (В. А. Тарасов)