Классы
Предметы

Когда нам трудно выбирать: парадокс Кондорсе

Парадокс Кондорсе

На этом уроке мы поговорим о проблеме выбора. С этой проблемой мы сталкиваемся каждый день: во время похода в магазин, выбора места для отдыха, голосования за старосту в классе. Но, оказывается, эта проблема существует и на уровне государства, а именно: при выборах президента, парламента, мэра города.

Сложности, которые возникают при выборе, описываются парадоксом Кондорсе (парадоксом противоречия). Замечание, которое послужит интригой, для интереса. Идет Великая Французская революция, Кондорсе участвует в этих событиях, причём на высшем уровне. И вдруг он начинает заниматься этим парадоксом. Оказывается, его решение нужно – без него никак не получаются разумные выборы. Кругом бегают, стреляют, гильотина и прочее, а он занимается математикой (как оказалось, самым важным). Понимание того, какими должны быть выборы в демократическом государстве, во многом пришло из Франции после Французской революции. И важную роль в этом сыграла работа Кондорсе.

Рассмотрим такой пример. Есть три кандидата на выборах: , , . После голосования получили такое распределение голосов (Рис. 1).

Рис. 1. Распределение голосов

Кажется, что кандидат  должен стать президентом. Но представим, что будет проведен второй тур. В нем примут участие два кандидата, набравших в первом туре наибольшее количество голосов: кандидаты  и . Может оказаться, что избиратели кандидата  примут сторону кандидата  (Рис. 2).

Рис. 2. Распределение голосов

Получилось, что президентом должен быть кандидат . Как могли получиться два таких противоречивых результата?

Теперь предположим, что когда мы опрашиваем людей, мы узнаем не только, кого бы они выбрали, но и кто им больше нравится из остальных кандидатов. То есть предлагаем каждому избирателю расположить кандидатов в порядке убывания их привлекательности (Рис. 3).

Рис. 3. Результаты опроса

Видим по таблице, что в первом туре победил бы кандидат  (за него 23 избирателя). Во втором туре (Рис. 4) побеждает кандидат  (за него 35 избирателей).

Рис. 4. Результаты голосования во втором туре

А теперь давайте попарно сравним кандидатов. Сравнивая  и , получаем: . А при сравнении кандидатов  и  с  получаем, что  побеждает оба раза: , . То есть правила проведения выборов полностью определяют победителя. В нашем примере каждый из кандидатов мог бы выиграть.

 

Рассмотрим пример, который ближе к нашей повседневной жизни. Есть три человека, которые хотят поехать куда-то отдохнуть. Каждый из них предлагает свой вариант отдыха: на море, в лес, в горы. Как выбрать? Кажется, что сделать выбор здесь невозможно. Обычно в такой ситуации мы предлагаем два дня провести в одном месте, потом три в другом и т.п. Но может быть и ситуация, когда разделить на части не получится (например, есть маленькая сумма денег и каждый хочет купить что-то свое).

Один из вариантов решения, оценить свой выбор в процентах (Рис. 5).

Рис. 5. Результаты выбора

При таком варианте маловероятно, что не определится победитель. Но в этом выборе есть проблема: два человека им всё равно не будут удовлетворены.

 

Ещё один пример. Представьте, что вы выбираете пальто. Есть три варианта . При этом  теплее ,  теплее , то есть пока можно остановить выбор на . Но  намного красивее , поэтому возможен вариант, при котором вы выберете его. Мы получили, что  и . Парадокс Кондорсе как раз рассматривает такие циклические предпочтения. В данном отношении нарушается транзитивность.

 

Теперь мы знаем, что такая проблема существует. Давайте порассуждаем, почему она возникает, когда и как ее можно решать. Отличие задачи про пальто от привычного нам сравнения (яблоко тяжелее груши, груша тяжелее апельсина, значит, яблоко тяжелее апельсина) в том, что выбор осуществляется по двум параметрам. Если бы мы выбирали самое теплое пальто, то выбрали бы , если самое красивое, то . А вот при выборе лучшего варианта для нас происходит перескок: сначала нам нужно определиться, какой параметр для нас важнее.

Можно взять пример из спорта. В беге, кто быстрее пробежит, тот и выигрывает. Здесь все просто, так как выбор основан на одном параметре – времени. А в фигурном катании параметров намного больше: артистизм, техника, сложность и т.д. Поэтому в таких видах спорта часто возникают споры о победителях. Итак, существует общая проблема выбора по нескольким параметрам.

Вернёмся к Французской революции. Во время неё был выдвинут лозунг: «Свобода, равенство и братство». Но свобода и равенство часто входят в противоречие. Равенство подразумевает справедливость, а свобода – свободу, каждый может делать, что хочет. В результате те, кто за равенство, больше склонны к регулированию, то есть к ограничению свободы. Одни люди за то, чтобы все зарабатывали немного,  рублей, но одинаково. А другие за то, чтобы кто-то зарабатывал больше,  рублей, если при этом он сам будет получать  рублей. Это вполне естественно, вопрос только в том – что делать, чтобы разрешить эти противоречия?

Один из вариантов мы уже рассмотрели: это ранжирование с указанием процентного предпочтения. Например, указать, что красота пальто важна для меня на , а то, насколько оно теплое, – на . То есть мы вводим единую меру (проценты), тогда сравнение становится линейным (по одному параметру), а для него транзитивность выполнена. Обратите внимание, что мы фактически вышли за рамки поставленной задачи: расширили её, ввели единую меру. Главное условие для такого решения – чтобы все участники приняли эту меру. В противном случае возникают конфликты, например, политические. Один – за свободу, другой – за равенство. Если не выйти за рамки этих различий, то останется один вариант – переубеждение, причём чаще всего силой (так возникают гражданские войны). Если же удаётся выйти за рамки задачи (например, поделить землю пропорционально интересам людей), то можно найти мирный выход: Чехословакия разделилась на Чехию и Словакию. Муж с женой для мирного решения конфликтов разводятся (выходят за рамки брака), если напрямую решить задачу примирения не удаётся.

Игры

Самая простая нетранзитивная игра известна нам с детства – «камень, ножницы, бумага» (Рис. 6).

Рис. 6. Игра «камень, ножницы, бумага»

И хотя условие о победе бумаги над камнем кажется неестественным, это важный элемент для игры. Именно цикличность позволяет играть, так как случайность выбора двух игроков означает непредсказуемость результата. Если бы не было цикличности, то всегда можно выбирать выигрышный вариант.

Вспомним о дилемме заключенного. Дилемма заключенного – это фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок («заключенный») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

Если играть много раз, то можно начать предсказывать исходы, анализируя логику противника. Эту же идею можно использовать и в других играх, например, в игральных кубиках. Пусть у нас будут не обычные кубики, а такие, как представлено на рисунке (Рис. 7).

Рис. 7. Игральные кубики

Чтобы все было честно, вам первым предлагают выбрать кубик. Предположим, вы выбрали кубик , тогда ваш противник выбирает кубик . Далее вы бросаете их, и побеждает тот, на чьем кубике большее число. Рассмотрим все возможные исходы (Рис. 8).

Рис. 8. Возможные исходы игры

Выигрышных комбинаций для красного кубика , для зеленого – . Красный выигрывает у зеленого с вероятностью . Далее вам предоставляется еще одна попытка, вы выбираете красный кубик (ведь с ним ваш противник победил). А противник выбирает синий. Но, вероятно, вы опять проиграете. Рассмотрим все возможные исходы (Рис. 9).

Рис. 9. Возможные исходы игры

Выигрышных комбинаций для синего кубика , для красного – . Синий выигрывает у красного с вероятностью . Выигрывать чаще во всех случаях будет второй игрок, так как здесь не выполняется транзитивность и всегда можно найти кубик, выигрыш которого более вероятен (Рис. 10).

Рис. 10. Таблица выигрышных комбинаций для пар кубиков

Говорят, что Уоррен Баффетт разыгрывал так своих гостей, а Билл Гейтс смог его обыграть, предложив сделать выбор первым.

 

Ссылки:

1) Урок «Случайные события и их вероятности. Свойства вероятностей» 

2) Статья Wiki «Парадокс Кондорсе» 

3) Книга «Парадокс Кондорсе» Джесси Рассел 

4) Интернет-портал «Студенческая библиотека онлайн»