Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса
Урок: Арксинус и решение уравнения sinx=a
1. Введение. График функции y=sinx, x∈[-π/2;π/2]
На уроке рассматривается понятие функции арксинус, примеры на вычисление арксинусов по графику и на единичной окружности, решается уравнение 
при 
.
По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.
Функция 
не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке 
она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арксинус.
Построим график функции на отрезке (рис. 1) и будем находить значения арксинусов чисел по этому графику.
Рис. 1.
2. Понятие арксинуса числа и его свойства
Определение:
Арксинусом числа 
называется такой угол 
из промежутка , синус которого равен числу 
Свойство: для любого 
, такого что
выполняется равенство
Примеры 1. (рис. 1):
3. Некоторые значения арксинуса на единичной окружности
Построим единичную окружность и отметим на ней точки 
, найдем соответствующие значения синусов на оси ординат (рис. 3).
Рис. 2.
Пример 2. (рис. 2):
Свойство: для любого , такого, что выполняется равенство
Пример 3. (проверка свойства):
4. Решение уравнения sinx=a при |a|≤1
Пример 4. Решить уравнение 
Решение: на оси синусов отметим точку 
, проведем перпендикуляр к оси до пересечения с окружностью в точках 
и 
(рис. 3).
Рис. 3.
Объединим эти решения одной формулой:
Ответ: 
В общем виде решение уравнения 
при 
:
Рассмотрим подробней объединение двух серий решений
Перепишем их следующим образом:
Замечаем, что если перед 
стоит знак 
, то у числа 
множителем является четное число 
(см. первую строку), если же перед стоит знак -, то у числа множителем является нечетное число 
(см. вторую строку).
Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения:
5. Частные случаи
(рис. 4).
Рис. 4.
(рис. 5).
Рис. 5.
(рис. 6).
Рис. 6.
6. Итог урока
На уроке был рассмотрен график функции на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от 
до 
Также было рассмотрено понятие арксинуса и решено уравнение вида , при 
со своими частными случаями.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 21.1, 21.2, 21.19, 21.20(б).
