Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса
Урок: Арктангенс и решение уравнения tgx=a
1. Введение. График функции y=tgx, x∈(-π/2;π/2)
На уроке рассматривается понятие функции арктангенс, как обратной для функции тангенс на промежутке 
.
По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной. Функция 
непрерывна на любом интервале вида 
. В точках 
функция претерпевает разрыв. Функция не монотонна на всей своей области определения, поэтому выбираем главную ветвь тангенсоиды на промежутке , где она непрерывна, монотонна и принимает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция на этом промежутке, название которой - арктангенс.
График функции при 
приведен на рис. 1.
Рис. 1 .
По графику на рис. 1 можно найти значения арктангенсов некоторых чисел.
2. Понятие арктангенса числа, его свойства и примеры
Определение:
Арктангенсом числа 
называется такое число 
из интервала , тангенс которого равен числу 
Свойство 1: для любого числа 
Примеры:
1) 
(по рис. 1 
);
2) 
( по рис. 1 
).
3. Некоторые значения арктангенса на единичной окружности с линией тангенсов
Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов. Отметим на окружности точки 
, найдем соответствующие точки на линии тангенсов (рис. 2).
Рис. 2.
Пример (рис. 2):
Свойство 2: для любого числа 
4. Решение Решить уравнение tgx=a
Решение: построим единичную окружность и проведем линию тангенсов, отметим на ней точку , найдем соответствующие точки на окружности (рис. 3), 
в первой четверти и 
в третьей.
Рис. 3.
Числа, соответствующие этим точкам, описываются формулами:
Объединяем эти решения одной формулой:
Ответ:
5. Примеры решения простейших тригонометрических уравнений с дополнительными условиями
1. Решить систему:
Решение: составим формулу решений, отметив точку 
на оси абсцисс (оси косинусов) и соответствующие точки и 
на единичной окружности (рис. 4).
Рис. 4.
Отбор корней выполняется по рис. 4: не подходит, поскольку не удовлетворяет условию 
Ответ: 
2. Решить систему:
Решение: составим формулу решений, отметив точку на оси ординат (оси синусов) и соответствующие точки и на единичной окружности (рис. 5).
Рис. 5.
Отбор корней выполняется по рис. 5: не подходит, поскольку не удовлетворяет условию 
Ответ: 
4. Решить систему:
Решение: составим формулу решений, построив на единичной окружности точки и , соответствующие точке 
на линии котангенсов (рис. 4).
Рис. 6.
Отбор корней выполняется по рис. 6: не подходит, поскольку не удовлетворяет условию 
Ответ:
6. Итог урока
На уроке был рассмотрен график функции на промежутке 
, поскольку на этом промежутке функция непрерывна, монотонна и пробегает все свои значения от 
до 
Также было рассмотрено понятие арктангенса числа, решено уравнение вида 
и рассмотрены примеры решения простейших тригонометрических уравнений с дополнительными условиями.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 21.31, 21.34(а, б, в), 21.35(а, в).
