Функция
Пусть 
и 
– это два множества.
Функция
– это соответствие, которое каждому элементу из множества
сопоставляет единственный элемент из множества
.
Природа элементов множества и может быть любая, например числа.
Числовая функция
Если даны числовое множество и правило 
, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу 
из множества определенное число 
, то говорят, что задана функция 
с областью определения .
Областью определения функции 
называют множество всех значений , для которых функция имеет смысл.
Множество всех значений функции , 
называют областью значений функции.
,
– независимая переменная (аргумент)
– зависимая переменная
– область определения функции
– область значения функции
График функции
Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида 
, где .
Примеры
1. 
; 
.
Графиком этой функции является часть гиперболы (см. Рис. 1). Область определения – это проекция графика на ось , область значения – это проекция графика на ось .
Область определения: 
.
Область значения: 
.
Рис. 1. График функции ;
Любая вертикальная прямая 
(если 
принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как, согласно определению функции, закон такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.
2. 
(см. Рис. 2).
Рис. 2. График функции
Область определения: 
.
Область значения: 
.
3. ; 
(см. Рис. 3).
Рис. 3. График функции
; 
Область определения: 
.
Область значения: .
4. ; 
(см. Рис. 4).
Рис. 4. График функции ;
Область определения: 
.
Область значения: .
Монотонность функции
В монотонной функции каждое значение достигается только при одном значении (на рисунке 5 показан пример графика монотонно возрастающей функции). То есть уравнение 
, где 
, имеет только одно решение (
достигается при единственном значении ).
Рис. 5. График монотонной функции
Обратная функция
Пусть – это монотонная функция. Следовательно, каждому из области значения сопоставляется единственное значение из области определения. Тем самым задается функция, которая называется обратной, и обозначается 
. В этом случае независимой переменной является , а зависимой – .
Обратная функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством значений и областью определения прямой функции.
У каждой монотонной функции есть обратная функция. Однако многие функции кусочно монотонные, обратные функции у них будут существовать только в тех интервалах, где они монотонны.
Например:
1. Функция 
(см. Рис. 2) немонотонная, 
достигается при 
и при 
, следовательно, на всей области определения для этой функции не существует обратной.
2. Функция ; (см. Рис. 3) монотонная (возрастающая), например, достигается только при , следовательно, для нее существует обратная функция.
3. Функция ; 
(см. Рис. 4) монотонная (убывающая), например, достигается только при , следовательно, для нее существует обратная функция.
Графиком обратной функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида 
, где 
.
Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой 
(см. Рис. 6).
Рис. 6. Графики прямой и обратной функции
Прямая и обратная функции имеют одинаковый характер монотонности: если прямая функция возрастает, то и обратная функция возрастает; если прямая функция убывает, то и обратная функция убывает.
Методика решения задач на нахождение обратной функции
Дано: монотонная функция и ее график.
Найти: обратную функцию и ее график.
Решение
1. Решим относительно уравнение 
, где 
:
Мы получили обратную функцию в осях 
. Для удобства изменим название переменных, получим:
– в осях 
2. График обратной функции получим симметрией относительно графика прямой функции.
Примеры на применение методики
Задача 1
Дано: монотонная функция.
Найти: обратную функцию 
и ее график.
Решение
1. Решим относительно уравнение 
, получаем:
– обратная функция
Переобозначим переменные и получим:
2. График прямой функции – это правая ветвь параболы, график обратной функции будет симметричен относительно прямой
(см. Рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Задача 2
Дано: монотонная функция.
Найти: обратную функцию 
и ее график.
Решение
1. Решим относительно x уравнение 
, получаем:
– обратная функция
Переобозначим переменные и получим:
2. График прямой функции – это левая ветвь параболы, график обратной функции будет симметричен относительно прямой (см. Рис. 8).
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Список литературы
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт ege-study.ru (Источник)
2. Интернет-сайт helpmatan.ru (Источник)
3. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)
4. Интернет-сайт mathematics.ru (Источник)
5. Интернет-сайт (Источник)
Домашнее задание
1. Задание 7.21 (а, в), 7.44 (а), 10.4, 10.13 (а, в) (стр. 41-64) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник).
2. Дана функция 
; . Найти обратную функцию и ее график.
3. Пусть область значений функции есть отрезок 
. Найдите множество значений функции 
.
