Функция, заданная аналитически, – это функция, которая задана формулами. Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что, если у вас есть формула – вы знаете про функцию всё. Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию полностью. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь математический анализ стоит именно на таком способе задания функций.

Примеры:

1. , (все натуральные числа) – такая функция называется последовательностью.

Построим график функции (см. Рис. 5). Это прямая, на которой лежат точки с координатами .

График функции

Рис. 5. График функции

Все точки графика функции , лежат на построенной прямой (некоторые из них отмечены на рис. 5). Например:

если , то ;

если , то .

Область определения этой функции – это множество всех натуральных чисел.

Область значения этой функции – неотрицательные нечетные числа.

2. – такая функция называется линейной. Пара чисел и – константы, которые определяют конкретную линейную функцию.

Число показывает ординату точки пересечения графика функции с осью .

Область определения этой функции – это все действительные числа (так как любое число можно умножить на k и результат сложить с ).

Область значений этой функции:

а) все действительные числа, если (в этом случае имеем наклонную прямую, которая проектируется на всю ось y) (см. Рис. 6);

б) число , если (в этом случае имеем прямую, параллельную оси x, которая проектируется в одну точку на оси ) (см. Рис. 7).

, при

, при

Эскиз графика линейной функции

Рис. 6. Эскиз графика линейной функции при

Эскиз график линейной функции

Рис. 7. Эскиз график линейной функции при

3. , где – такая функция называется квадратичной. Числа , , – константы, которые определяют конкретную квадратичную функцию.

Определим область определения и область значений квадратичной функции на конкретном примере:

Для этой функции ; ; .

Построим график этой функции – параболу:

а) определим точки пересечения графика с осью , для этого функцию приравняем к нулю и найдем корни квадратного уравнения (через дискриминант или с помощью теоремы Виета):

при ;

б) определим координаты вершины параболы:

в) ветви параболы направлены вверх, так как

г) точка пересечения графика с осью (см. Рис. 8):

График функции

Рис. 8. График функции

Область определения этой функции – это все действительные числа.

Область значения этой функции – это луч от до .