Следующее важное понятие – это непрерывность функции. При изучении функции часто бывает нужно охарактеризовать, насколько плавно меняется функция. Непрерывность – одно из свойств, которое характеризует плавность изменения функции. Дадим строгое определение.

Пусть – числовая функция. Нарисуем ее график (схематически) – рис. 12.

График числовой функции

Рис. 12. График числовой функции

Итак, выберем произвольное действительное число и рассмотрим прямую . И пусть график обладает следующим свойством: если точка А находится над прямой, то и все точки графика с достаточно близкими абсциссами тоже находятся над прямой. Если точка В находится под прямой, то все точки с достаточно близкими абсциссами тоже находятся под прямой (рис. 13).

Иллюстрация непрерывности функции

Рис. 13. Иллюстрация непрерывности функции

Функция называется непрерывной, если она обладает указанным свойством для всех действительных . Таково определение функции, непрерывной на данном множестве.

Приведем пример функции, которая не обладает указанным свойством.

Пусть . Для наглядности построим график этой функции.

При любом отрицательном функция равна -1. Если аргумент равен 0, функция равна +1, и для всех положительных аргументов функция равняется +1. Ниже видим график функции (рис. 14).

Пример разрывной функции

Рис. 14. Пример разрывной функции

В точке 0 имеем нарушение указанных свойств. Возьмем, например, . Есть точка, которая находится над этой прямой, но не все точки с близкими абсциссами находятся над этой прямой. Если абсцисса отрицательна, то соответствующая точка графика находится под прямой. На всей области определения данная функция не является непрерывной. Еще раз вернемся к определению. Возьмем произвольное , любую точку А, если она находится над прямой, то все точки с достаточно близкими абсциссами находятся над прямой; если точка В находится под прямой, то все точки, с достаточно близкими абсциссами находятся тоже под прямой. Такие функции (с такими свойствами) для любых называются непрерывными.

Иногда говорят, что функция непрерывна, если ее график рисуется без отрыва карандаша (ручки) от листа бумаги. Ниже представлена непрерывная функция – ее график можно нарисовать, не отрывая карандаш от листа бумаги (рис. 15).

Иллюстрация свойства непрерывной функции

Рис. 15. Иллюстрация свойства непрерывной функции

График функции на рис. 16 нельзя нарисовать без отрыва карандаша. Дойдя до -1, нужно приподнять карандаш и нарисовать оставшуюся часть графика. Эта функция не является непрерывной (рис. 16).

Иллюстрация свойства разрывной функции

Рис. 16. Иллюстрация свойства разрывной функции

Примем без доказательства следующее утверждение.

Если выражение составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция будет непрерывна на естественной области определения.