Решение задач на косинус и синус разности аргументов

Рассмотрение формул косинуса и синуса разности аргументов

Выпишем 2 формулы:

- косинус разности аргументов:

,

то есть косинус разности аргументов – это сумма произведений косинусов и синусов этих аргументов.

- синус разности аргументов:

,

т. е. синус разности аргументов – это разность произведений синуса α на косинус β и косинуса α на синус β.

В задачах важно понимать, что принимать за α и β.

Задача 1 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов

Задача 1. Упростить.

Решение:

Принимаем 5x за α, т. е. 5xα, а 3xβ, и используем формулу синус разности аргументов.

Задача 2 на упрощение выражения с помощью формулы косинуса разности аргументов

Задача 2. Упростить.

Решение:

Подходит формула косинуса разности аргументов, но у нас разность произведений, поэтому преобразуем данное выражение, воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности функции синус:

=

==

Мы не только упростили выражение, но и вычислили его.

Задача 3 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов

Задача 3.Упростить выражение .

Решение:

=

Воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности  функции синус, получаем:

==

=

Т.к.

        , то

==

===

=

Разветвление Вычислительные задачи по теме урока

Вычислительные задачи по теме урока

Вычислить:

Решение:

Воспользуемся формулой косинус разности аргументов.

===0

Вычислить:

Решение:

Воспользуемся формулой синус разности аргументов.

==

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 4 на  нахождение синуса и сравнение чисел с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов

Задача 4.

Дано

Найти: a) и

Решение:

а) Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис.1):

Рис. 1. Тригонометрическая окружность

Числом t является длина выделенной дуги.

а) =

Все величины, кроменам известны.

======

Недостающее число найдено.

 ==,

Т. е.

б) Сравнить поможет , если он отрицательный, число находится во второй четверти, если положительный – в первой (справа от  (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Все величины нам известны:

==

=

Это величина отрицательная, следовательно, и косинус отрицательный (расположен во второй четверти):

t.

Иногда приходится применять две формулы сразу в одной задаче.

Задача 5 на решение уравнения с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов

Задача 5.

Решить уравнение:.

Решение:

Применяем свойство чётности функции косинуса и свойство нечётности функции синуса:

==

Получили простейшее тригонометрическое уравнение.

 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Для угла t =x+45первое множество решений даёт точка к1 (), второе множество

решений - к2 () (рис. 3).

      n

            n

Мы решили уравнение и нашли все его решения, их бесчисленное множество.

Подведение итогов

На данном уроке были рассмотрены формулы косинуса и синуса разности аргументов и решены типовые задачи с применением данных формул.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.: ил.
2. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. Учебник (базовый уровень).
3. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. 10–11 класс. – М.: Просвещение, 1995. – 176 с.
4.  Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

 

Домашнее задание

1. Вычислить .
2. Вычислить .
3. Упростить выражение:
4. Вычислить cos( + α) cos( – α) – sin(+ α) sin(– α).

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Sokolova-aa.ru  (Источник).
2. Интернет-портал Urokimatematiki.ru  (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).