Тема: Преобразование тригонометрических выражений
Урок: Синус и косинус суммы аргументов
1. Введение. Формулы синуса и косинуса суммы двух аргументов
На уроке рассматриваются формулы синуса и косинусасуммы аргументов, применение этих формул для решения некоторых задач на вычисление и упрощение выражений, решение уравнений и доказательство тождеств.
Самыми важными в тригонометрии являются следующие две формулы:
2. Применение формул синуса и косинуса суммы двух аргументов для разных задач
1. Задача: Вычислить 
.
Решение:
1) Применяя формулу синуса суммы двух углов, имеем:
2) Применяя формулу косинуса суммы двух углов, имеем:
.
Ответ:
2. Задача: упростить выражение 
.
Решение: применяя формулу синуса суммы двух аргументов, получаем:
.
Ответ: 
.
В следующей задаче используется формула косинуса суммы двух аргументов.
3. Задача: упростить выражение
.
Решение:
Ответ: 
.
3. Доказательство тождеств с помощью формул синуса и косинуса суммы двух аргументов
4. Доказать тождество:
Доказательство:
,
что и требовалось доказать. Все действия можно провести и в обратном порядке.
5. Доказать тождество: 
. (1)
Доказательство:
Пусть 
1) Докажем, что левая часть равна правой части:
2) Можно доказать, что правая часть равна левой части:
Получим
при всех 
.
При этом, (1) эквивалентно верному равенству при всех действительных 
Тождество доказано.
4. Вычислительные задачи
6. Найдите значение выражения: 
Решение:
Используя формулу
при 
получаем:
.
Ответ: 
.
7. Вычислить:
Решение:
.
Ответ: .
5. Применение изучаемых формул при решении уравнений
8. Решить уравнение:
Решение: применяя формулу 
при 
получаем:
Ответ: 
9. Решить уравнение: 
.
Решение:
Частный случай решения уравнения 
(см. на рис.1).
Рис.1 Решение уравнения 
Ответ: 
10. Задача.
Дано:
Вычислить:
Вычисление:
из основного тригонометрического тождества имеем:
Ответ: 
.
11. Формулировка задачи: найти наименьший положительный корень уравнения в градусах
Решение:
Углы со значением синуса 
описываются двумя множествами точек, см. рис.2.
Рис. 2. Углы со значением синуса 
или 
. 
Поскольку требуется найти наименьший положительный корень, выполним отбор корня (см. рис.3)
Рис. 3.
Первое множество значений 
описывается точкой 
Второе множество значений 
описывается точкой 
.
Ответ: 
6. Итог урока
На уроке рассматривались формулы синуса и косинуса суммы аргументов, их применение для решения некоторых задач.
На следующем уроке будут рассмотрены формулы синуса и косинуса разности аргументов.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№№ 19.1, 19.5, 19.10(в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
