Теорема: если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Пример 1 применения теоремы Вейерштрасса (рис. 7).

Функция монотонна (она убывает), эта функция ограниченна (она расположена на интервале 0 не включая, 1 включая).

Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится.

– сходится, т. е. имеет предел

Первый пример применения теоремы Вейерштрасса

Рис. 7. Первый пример применения теоремы Вейерштрасса

Второй пример применения теоремы Вейерштрасса (рис. 8).

;

Все точки лежат на гиперболе , эти точки неограниченно приближаются к прямой .

Второй пример применения теоремы Вейерштрасса

Рис. 8. Второй пример применения теоремы Вейерштрасса

Предел данной последовательности равен 1, это означает, что при больших значениях все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны 1 или находятся в любой окрестности в точке 1.

Вывод
Мы познакомились с важным понятием числовой последовательности, изучили аналитический способ задания числовой последовательности, рассмотрели теорему Вейерштрасса, привели примеры.

Список литературы

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Укажите номер члена последовательности , равного .
Вычислите три последующих члена последовательности, если и.
Задана последовательность. Ограничена ли она? .
Начиная с какого номера все члены последовательности будут не меньше заданного числа : , ?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал 5klass.net (Источник).
Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
Интернет-портал Resolventa.ru (Источник).