Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности

Определение функции f(n)

Пусть  – числовое множество.

Числовая функция  – закон, который каждому элементу из  сопоставляет единственное число.

Множество  называется областью определения функции .

Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество  всех натуральных чисел.

Числовая последовательность может быть задана разными способами:

1. Аналитический
2. Словесный
3. Рекуррентный

Аналитический способ задания числовой последовательности

Необходимо указать формулу, по которой можно вычислить любой член последовательности.

Имеем формулу , где  

Пример:

График последовательности – это множество всех пар , где  пробегает все натуральные значения.

Нарисуем график функции  (рисунок 1).

Эта ветвь – гипербола, и на этой ветви лежат все точки графика нашей последовательности, если , то и .

Первая точка  вторая точка  и т. д.

Рис. 1. График функции

Функция , следовательно, .

Роль нуля в заданной числовой последовательности

Рассмотрим множество значений данной последовательности:

Нарисуем ось , отметим 1 и 0 на оси , а также значения данной последовательности (рис. 2).

Рис. 2.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Множество значений расположено на интервале от 0 (не включая) до 1 (включая). Данная последовательность меняется в этих пределах.

.

Последовательность ограничена сверху: .

Последовательность ограничена снизу: .

Верхняя граница – число 1 достижимо: .

Нижняя граница – число 0 не достижимо, но число 0 играет важную роль для данной последовательности, пока что мы видим, что члены последовательности «сгущаются».

Пример числовой последовательности

Нарисуем ось  (рис. 3):

 – получили окрестность точки 0 (рис. 3). В любой окрестности точки 0 содержится хотя бы 1 член данной последовательности. Начиная с этого члена, все остальные члены последовательности содержатся в –окрестности.

Рис. 3.Ось у. –окрестность точки 0 

Пример:

;

Предел числовой последовательности

Какие точки последовательности находятся в –окрестности?

Это  ; , замечаем, что все члены последовательности после 101 находятся в –окрестности точки 0, т. е. они как бы «сгущаются» в точке 0 (рис. 4).

Рис. 4. Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Любой, даже один, член попадает в – окрестность точки 0, а за ним весь остальной хвост последовательности попадает в эту окрестность.

Вот это число 0 называют пределом данной последовательности при . Запись такова: .

Можно взять любой , получается очень малая окрестность точки 0, но, начиная с некоторого номера, все члены последовательности находятся в этой –окрестности точки 0, т. е. мы знаем, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, приблизительно равны своему пределу, т. е. равны 0.

Как найти, с какого номера все члены последовательности помещаются в заданнойокрестности?

Допустим, задали маленькое число :

Тогда решим неравенство ; .

Пример:

Пусть , тогда

Все члены, начиная с этого номера, умещаются в данной окрестности точки 0.

Как бы близко мы ни встали около точки 0 вверх, всегда найдется член, который находится еще ближе, и все остальные члены будут ближе к точке 0 (рис. 5). 

Рис. 5.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Определение  предела последовательности y_n

Число  называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки  содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (рис. 6).

Рис. 6. Предел последовательности

, члены последовательности (выделены красным), в окрестность попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера , такой номер обязательно существует. При заданном  весь хвост находится в окрестности точки  и это для любого, сколь угодно малого .

Мы выяснили, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны своему пределу.

Свойства предела

Существует ли предел у всякой последовательности?

Последовательность    .

Если последовательность имеет предел, она сходится, все члены сходятся к этому пределу.

Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.

Теорема Вейерштрасса, примеры применения теоремы

Теорема: если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Пример 1 применения теоремы Вейерштрасса (рис. 7).

Функция  монотонна (она убывает), эта функция ограниченна (она расположена на интервале 0 не включая, 1 включая).

Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится.

 – сходится, т. е. имеет предел

Рис. 7. Первый пример применения теоремы Вейерштрасса

Второй пример применения теоремы Вейерштрасса (рис. 8).

;  

Все точки  лежат на гиперболе , эти точки неограниченно приближаются к прямой .

Рис. 8. Второй пример применения теоремы Вейерштрасса

Предел данной последовательности равен 1, это означает, что при больших значениях  все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны 1 или находятся в любой окрестности в точке 1.

Вывод
Мы познакомились с важным понятием числовой последовательности, изучили аналитический способ задания числовой последовательности, рассмотрели теорему Вейерштрасса, привели примеры.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. Укажите номер члена последовательности , равного .
2. Вычислите три последующих члена последовательности, если  и.
3. Задана последовательность. Ограничена ли она? .
4. Начиная с какого номера все члены последовательности  будут не меньше заданного числа : , ?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал 5klass.net (Источник).
2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
3. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
4. Интернет-портал Resolventa.ru (Источник).