Тема: Производная
Урок: Исследование функций; сопутствующие задачи
1. Повторение
На этом занятии будет продолжена тема исследование функции с помощью производной. На предыдущем уроке была подробно рассмотрена функция 
. Выяснили, что эта функция допускает подробное исследование с помощью производной. Была найдена производная, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности функции, точки экстремума.
2. Сопутствующие задачи
Найти множество значений функции
.
.
В связи с этим – типовая задача.
1. Дано: 
. При каких значениях параметра 
, данное уравнение имеет хотя бы одно решение?
Методика решения подобных задач.
Построить график функции из левой части ( построили на предыдущем уроке). Поскольку множество значений функции любое действительное число. Это означает, что при любом , хотя бы один корень есть.
Ответ: при 
уравнение имеет хотя бы одно решение.
Найти , при которых нет решений у данного уравнения.
Ответ : нет таких .
2. Дано: . Найти число корней уравнения, в зависимости от параметра .
Решение.
Мы не можем точно найти корень, даже если 
. Методика решения состоит в следующем.
1) Построить график функции (см. рис.1).
Рис. 1. График функции .
2) Рассечь график функции семейством прямых 
(см. рис.2).
3) Найти точки пересечения (их число) и выписать ответ.
Рис. 2. График функции и прямые .
Ответ:
1) при любом 
, уравнение имеет одно решение. Можем охарактеризовать, где лежит это решение: 
.
2) При - уравнение имеет два решения.
3) При 
- уравнение имеет три различных корня.
4) Если 
, то уравнение имеет два решения.
5) При любом 
- уравнение имеет единственное решение.
3. Частные случаи задачи с параметром
1. Найти наибольшее значение параметра , при которых уравнение имеет два различных решения.
Два различных решения имеем при и при .
Ответ: таким образом, наибольшее значение параметра при котором уравнение имеет два различных решения .
2. Найти число значений параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных решения.
Решение.
Таких параметров – два. При 
и при уравнение имеет два решения .
Ответ: 2.
3. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно три различных решения.
Решение.
В общей задаче, где мы перебрали все и для каждого дали ответ, есть ответ на поставленную задачу. Три решения есть, когда меняется от нуля до четырех.
Ответ: .
4. Найти натуральные значения параметра , при которых уравнение имеет три различных решения.
Эта задача отличается от предыдущей тем, что среди промежутка 
выбрать натуральные значения . Итак, при 
, при 
и при 
- натуральных числах, уравнение имеет три различных корня.
Ответ: , , .
4. Итог урока
Итак, на уроке была рассмотрена методика построения графика функции пятой степени с помощью производной. Были найдены промежутки монотонности функции, точки максимума и точки минимума функции. Также были рассмотрены сопутствующие задачи. Наиболее сложная из них такова: дано уравнение , найти число решений уравнения с параметром . На уроке сформулирована методика решения такой задачи. Главным в такой задаче – построение графика функции 
с помощью производной. Потом этот график нужно рассекать семейством прямых , при разных , и считывать ответ.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№45.11 (б), 45.12 (б) ( Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
