Предел функции

Пример функции

Пусть задана функция  и значение , значение аргумента. Что происходит с функцией, если ?

Рассмотрим функцию , за  примем число 2, оно принадлежит области определения, т. е. , также известно, что .

Пусть , нам необходимо выяснить, что происходит с функцией и какова роль числа  (рис. 1).

Рис. 1. График функции ,  

Понятие предела функции, выделение

Начнем с выделения ε-окрестности в точке ,  – это произвольное малое число, например , тогда , , имеем -окрестность для . Имеем горизонтальную полосу шириной , получаем точки  и .

 

Рис. 2. График функции , , ,  

Значение  достигается, когда , Значение  достигается, когда .

 меньше, чем , однако точка  ближе к 2, значит, за  мы выберем .

, так мы получили -окрестность для , получили точку (рис. 2).

 – окрестность точки 2 выделяет такой кусок графика, который целиком расположен в горизонтальной полосе шириной .

Рис. 3. График функции ,

Кривая  находится внутри горизонтальной полосы – это означает, что как только  попадет в δ-окрестность точки 2,  попадет в -окрестность точки .

То есть y  и точность приближения зависит от .  может быть сколько угодно малым числом, главное, чтобы положительным, но при заданном  можно найти такое , что как только  попадет в δ-окрестность точки 2,  попадет в -окрестность точки , именно этим обстоятельством нам важна .

 при . Для любой узкой горизонтальной полосы вокруг точки  найдется подходящая вертикальная полоса вокруг точки  такая, что выделяет такой кусок графика, который целиком находится в горизонтальной полосе (рис. 3).

Число  называется пределом функции  при , если сказанное справедливо для любого положительного .

Записывается это следующим образом:

Если  находится вблизи точки 2, то  находится вблизи своего предела, вблизи точки .

Предел функции в точке

Была функция , мы умножим числитель на , и разделим числитель на , ясно, что в точке 2 функция не существует, распишем эту функцию:

Наша новая функция совпадает со старой функцией везде, кроме одной точки, нарисуем новый чертеж (рис. 4):

Рис. 4. График

Важные отличия функций  и

Важные отличия:

1. .

•  – предел равен .
• Непрерывна в точке .

2. .

• – предел  .
• Главное различие – это наличие разрыва в ОДЗ.
• Не является непрерывной в точке  (рисунок 4).

Определения функции

Если первая функция существовала в точке 2, то вторая функция не существует в точке 2, а предел у них один и тот же.  непрерывна потому, что предел этой функции при  равен  , т. е. значению функции в точке 2, чего нельзя сказать про функцию номер 2.

 можно заменить на .

 можно заменить другим числом  из ОДЗ и получить важные определения:

1. Функцию  называют непрерывной в точке , если выполняется соотношение
   
2. Функцию  называют непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Утверждение непрерывности функции

Если выражение  составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция  непрерывна в любой точке, в которой определено выражение , т. е.

Это утверждение позволяет определять, где данная функция непрерывна.

Теорема для вычисления пределов

Но каким образом вычислять пределы? Для этого существует теорема:

Если , , то:

1.  – предел суммы  и  при  равен сумме пределов, т. е. .
2.  – предел произведения  и g при  равен произведению пределов, т. е..
3.  – предел частного  при , есть частное от пределов, т. е. при .
4.  – предел произведения коэффициента  на функцию равен  умноженному на предел этой функции, т. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Пример 1, найти

Найти .

Во-первых, нужно взять предел от  и отнять предел , во-вторых, в точке 1 функция непрерывна, значит, предел функции в этой точке равен значению функции при , т. е. единицу подставляем, получаем:

Ответ: -1.

Пример 2, найти

Найти .

0 входит в область определения функции, значит, предел функции при  равен значению функции в точке 0, функция непрерывна в точке 0, т. е. подставляем 0 и получаем:

Ответ: 0.

Вывод
Мы познакомились с важными понятиями предела функции в точке, непрерывности функции в точке, привели примеры.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10 –11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10 –11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. Найти .
2. Вычислить .
3. Вычислить .

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал 5klass.net (Источник).
2. Интернет-портал  Mathematics-repetition.com (Источник).
3. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).