Тема: Производная
Урок: Приближенные вычисления
1. Приближенные вычисления
Приближенные вычисления можно рассматривать как одно из применений производной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например, если нужно какие-то значения числа 
, то пишем 
, 
и т. д.
Рассмотрим общий прием получения с хорошей точностью приближенных значений. Предположим, что задана функция 
и эта функция имеет сложный график. Достаточно задать точку 
, для того чтобы получить касательную. Проведем в точке 
касательную. Запишем уравнение этой касательной 
. В окрестности точки график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис.1). Предположим, что приращение аргумента 
невелико. Имеем 
- точное значение функции в точке 
. Приближенное значение 
дает касательная, и если невелико, то 
, то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).
Рис. 1. График функции и касательная.
Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки 
( хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение 
. Если в точке легко вычислить значение , то в новой точке заменим значение на значение 
, то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .
Например, вычислить приближенно величину 
(решение ниже).
Вычислить приближенно 
.
Сделаем иллюстрацию (см. рис.2).
Рис. 2. График функции 
.
, а 
. 
. Заменим значение функции в точке 
значением касательной 
.
; 
; 
. Итак, 
.
Таким образом, приближенные вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.
2. Вывод формулы для приближенных вычислений
Рассмотрим формулы для приближенных вычислений для функции 
в окрестности точки 
, то есть в точке 
(см. рис.3).
Рис. 3. Окрестность точки .
Значение функции в точке равно 
. Доказать, что 
.
Доказательство.
Заменим функцию касательной.
; 
; 
. Если заменим значение функции значением касательной, то получим 
.
Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.
Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближенное значение 
.
Рис. 4. Приращение аргумента.
Вычислим приращение 
(см. рис.4). Отсюда,
Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.
3. Итог урока
Итак, мы кратко рассмотрели теорию приближенных вычислений. Суть заключается в том, что сложную кривую в окрестности точки заменяем прямой (касательной к графику функции). И если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 639 – 642 (Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)
