Тема: Производная
Урок: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
1. Введение. Постановка задачи
На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной
№ 32.1 (б). Дано: 
, 
. Нарисуем график функции (см. рис.1).
Рис. 1. График функции .
Известно, что эта функция возрастает на промежутке 
, значит, она возрастает и на отрезке 
. А значит, если найти значение функции в точках 
и 
, то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.
Когда аргумент возрастает от 
до 8, функция возрастает от 
до 
.
Ответ: 
; 
.
3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрической функции
№ 32.2 (а) Дано: 
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.
Построим график этой функции (см. рис.2).
Если аргумент меняется на промежутке 
, то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от 
, то функция убывает от 2 до 0.
Рис. 2. График функции .
Найдем производную 
.
, 
. Если 
, то 
и это значение принадлежит заданному отрезку 
. Если 
, то 
. Легко проверить, если 
принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем
;
;
.
Ответ: 
;
.
Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной – это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.
4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной
№ 32.10 (а)
Дано: 
, 
. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.
1. Найдем производную 
. Найдем критические точки 
, отсюда 
, 
- критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках 
, 
, 
. Для этого найдем
;
;
.
Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).
Рис. 3. Пределы изменения значений функции
Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.
Ответ: 
;
.
5. Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.
Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.
3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.
4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.
6. Решение задачи
Рассмотрим еще один пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
, 
.
Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).
Рис. 4. График функции .
На промежутке 
область значения этой функции 
. Точка 
- точка максимума. При 
- функция возрастает, при 
– функция убывает. Из чертежа видно, что 
, 
- не существует.
7. Итог урока
Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
