Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Предел числовой последовательности

Числовая последовательность – частный случай функции, которая задана на множестве натуральных чисел. Некоторые числовые последовательности сходятся, то есть имеют предел, тогда пишут  либо по-иному: когда , это означает, что при достаточно больших  , .

Более точно, если у нас есть предел и его  – окрестность (рис. 1), то начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки .

Рис. 1.Члены последовательности находятся в -окрестности точки

Определение предела числовой последовательности

Пример 1

Последовательность . Предел этой последовательности , это означает, что при достаточно больших , все  находятся вблизи от нуля. Может ли быть здесь два предела? Докажем, что если последовательность имеет предел, то он только один.

Вот последовательность  и два предела (рис. 2).

Рис. 2.Последовательность  и два предела

Что значит ? Это означает, что найдется такая малая окрестность точки , что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в этой -окрестности.

А что значит ? Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки . Но возможно ли это? Между  и  есть некое расстояние (рис. 3).

Рис. 3. Расстояние между  и

Выберем , -окрестности не пересекаются. Начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в ε-окрестности одной точки и второй точки, но эти ε-окрестности не пересекаются. Таким образом, если у последовательности есть предел, то он один.

Определение: число  называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной -окрестности точки , , содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера (рис. 4).

Рис. 4.

Число  может быть очень малым. Сходящиеся последовательности – те последовательности, которые имеют предел.

Свойства сходящейся числовой последовательности

Если последовательность сходится, то:

1. только к одному пределу;
2. она ограничена.

Как узнать, что последовательности сходятся? Для некоторых последовательностей это можно сделать. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Теорема Вейерштрасса

Рис. 5. Иллюстрация к теореме Вейерштрасса

Последовательность возрастает. Число точек не ограничено, последовательность ограничена числом . Значит, к числу  либо к любому другому числу все точки последовательности сгущаются. Это наглядно показывает, что монотонность и ограниченность – два свойства, которые являются достаточными для того, чтобы последовательность имела предел. В этом смысл теоремы Вейерштрасса (рис. 5).

Теорема для вычисления пределов конкретных последовательностей

Даны две последовательности и ,  и . Последовательности сходящиеся.

1.  – новая последовательность, ее предел . Предел суммы последовательностей, равен сумме пределов этих последовательностей.
2. . Этот предел равен произведению , то есть произведению этих пределов.
3. . Предел этой последовательности, то есть предел частного равен , где .

, где  постоянный множитель, который можно вынести за знак предела.

Примеры с использованием теоремы вычисления

Пример 1

, мы знаем, что , отсюда .

Пример 2

Найти предел последовательности .

Последовательность, сходящаяся, имеет предел, равный 1.

Задача на геометрическую прогрессию

Перейдем к следующей задаче.

Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия обозначается следующим образом: .

Второй член геометрической прогрессии , где – знаменатель прогрессии, третий член  и т.д.

 – определение геометрической прогрессии, членов у этой прогрессии бесчисленное множество.

Прогрессия называется убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы: .

Рассмотрим последовательность частичных сумм.

.

Если есть конечная геометрическая прогрессия, то сумма членов вычисляется по этой формуле. Необходимо знать первый член, знаменатель и число членов.

Бесконечная убывающая прогрессия

Если последовательность  стремится к некоторому числу, то это число и будет называться суммой бесконечной геометрической убывающей прогрессии, если это число есть, то это сумма  то есть это сумма бесконечного числа слагаемых.

, чтобы доказать это, предварительно обсудим следующее утверждение: , если .

Пусть , тогда , ,  и т.д. Понятно, что с ростом  дробь уменьшается, естественно предположить, что . Тогда становится понятно, что последовательность  убывает, ограничена снизу и имеет предел, равный нулю.

.

Утверждение «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Если знаменатель  геометрической прогрессии  удовлетворяет неравенству , то сумма  прогрессии вычисляется по формуле: .

Докажем эту формулу.

Доказательство: вспомним, что  – это предел последовательности частичных сумм. Постоянный множитель  от  не зависит. От  зависит . Постоянный множитель можем вынести за знак предела. Получаем предел разности, что в свою очередь является разностью пределов: .

Формула доказана.

Задача на сумму геометрической прогрессии

Пример

Найти сумму геометрической прогресси:.

 ; .

Значит, имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию:  .

Ответ: .

Обсудим задачу.

, значит, . Рассмотрим следующую геометрическую модель. Имеем отрезок  длиной в единицу (рис. 6). первое слагаемое, уже половина отрезка, второе слагаемое  это половина оставшегося отрезка, третье слагаемое половина оставшегося отрезка и т.д.

Рис. 6.Отрезок

Апории Зенона

В заключении вспомним и упростим апории Зенона, согласно которой, как он доказывал, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Мы остановим черепаху и докажем, что Ахиллес или другой бегун никогда не поравняется с черепахой. Необходимо найти ошибку в рассуждениях.

Рис. 7. Бегун и черепаха

В точке  – бегун, в точке  – черепаха, расстояние , скорость бегуна . Пробегая половину пути, бегун затратит время, теперь он находится в точке (рис. 7).

Рис. 8. Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути

Далее ему нужно затратить время, чтобы пройти половину пути (рис. 8). И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Бегун проходит еще часть пути, затратив время, и достигает точки . Но черепаха  впереди, а бегун сзади.

Рис. 9. Положение бегуна в точке  и положение черепахи

И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Между ними расстояние. Чтобы пройти расстояние и попасть в точку , нужно затратить время (рис. 10). Но черепаха опять впереди, а бегун сзади. И так далее. Доказали, что никто и никогда не поравняется с черепахой.

Рис. 10. Положение бегуна в точке  и положение черепахи

Вывод

Мы сформулировали определение числовой последовательности, рассмотрели предел числовой последовательности, а также сумму бесконечной геометрической прогрессии, привели примеры задач на предел числовой последовательности.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если , .
2. Определить знаменатель  и сумму геометрической прогрессии если , .
3. Найти сумму геометрической прогрессии , если .

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:

1. Интернет-портал 5klass.net (Источник).
2. Интернет-портал Mathematics-repetition.com (Источник).
3. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).