В заключении вспомним и упростим апории Зенона, согласно которой, как он доказывал, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Мы остановим черепаху и докажем, что Ахиллес или другой бегун никогда не поравняется с черепахой. Необходимо найти ошибку в рассуждениях.

Рис. 7. Бегун и черепаха

В точке – бегун, в точке – черепаха, расстояние , скорость бегуна . Пробегая половину пути, бегун затратит время, теперь он находится в точке (рис. 7).

Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути

Рис. 8. Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути

Далее ему нужно затратить время, чтобы пройти половину пути (рис. 8). И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Бегун проходит еще часть пути, затратив время, и достигает точки . Но черепаха впереди, а бегун сзади.

Рис. 9. Положение бегуна в точке и положение черепахи

И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Между ними расстояние. Чтобы пройти расстояние и попасть в точку , нужно затратить время (рис. 10). Но черепаха опять впереди, а бегун сзади. И так далее. Доказали, что никто и никогда не поравняется с черепахой.

Рис. 10. Положение бегуна в точке и положение черепахи

Вывод

Мы сформулировали определение числовой последовательности, рассмотрели предел числовой последовательности, а также сумму бесконечной геометрической прогрессии, привели примеры задач на предел числовой последовательности.

Список литературы

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Рекомендованное домашнее задание

Найти четвертый член геометрической прогрессии, если , .
Определить знаменатель и сумму геометрической прогрессии если , .
Найти сумму геометрической прогрессии , если .

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:

Интернет-портал 5klass.net (Источник).
Интернет-портал Mathematics-repetition.com (Источник).
Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).