Задачи на расстояние от точки до кривой

Тема: Производная

Урок: Задачи на расстояние от точки до кривой

1. Опорные факты

Что такое расстояние от точки докривой? Точку  можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку , чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).

Рис. 1. Расстояние от точки до кривой.

Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис.2).

Рис. 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис.3).

 

 

 

 

Рис. 3. Расстояние между прямыми.

Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой , в результате получится точка .  – искомое расстояние (см. рис.4).

Рис. 4. Расстояние от точки до окружности.

Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются. Нужно соединить центры, получим две точки  и .  – искомое расстояние (см. рис.5).

Рис. 5. Расстояние между двумя окружностями.

Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом ее решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками.  Предположим, что на координатной плоскости даны две точки  и  (см. рис.6).

Рис. 6. Расстояние между двумя заданными точками.

Расстояние между точками вычисляется по формуле  

.

Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

2. Задача 1

На параболе  найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке .

Рис. 7. График функции.

Решение.

Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси Y (см. рис.7).

Координаты искомой точки:  . По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:

. Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:

  или

.

Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной , получим:

. Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции  .  Найдем абсциссу вершины  (см. рис.8).

Рис. 8. Абсцисса вершины параболы.

Задача практически решена. Наименьшее значение этой функции будет тогда, когда . Вычислим . Значит, функция  ведет себя следующим образом (см. рис.9):

Рис. 9. Схематический график функции .

Без производной, с помощью свойств квадратичной функции, решили задачу. Если , то  , отсюда , . Если значения координат  известны, вычислим значения . ;  Получили ответ  ; .

Итак, была задача: найти точки на кривой, которые бы отстояли от начала координат на наименьшее расстояние. Такие точки найдены. Первая точка -  , вторая точка – .

Напомним ход решения задачи. Точка   зависит только от , ее координаты – . При выражении квадрата расстояния, получили функцию от . Можно с помощью производной найти минимум. Можно сделать проще. Если сделать замену , получим квадратичную функцию и можно найти наименьшее значение данной квадратичной функции.

Ответ: .

3. Задача 2

На графике функции  найти точку , ближайшую к данной точке . Решение.

Сделаем рисунок (см. рис.10).

Рис. 10. График функции .

Заданы координаты двух точек:  и .

Найдем расстояние АМ:

.

 или .

 - квадратичная функция от . Вспомним, что нужно найти минимальное значение, то есть . Графиком этой функции является парабола, ветвями направленная вверх, значит, минимум находится в вершине. Выделим полный квадрат и получим:

. Выяснилось, что . Равенство достигается, когда  принимает самое минимальное значение. Это будет в случае, когда . Таким образом, получили ответ , а . Значит, координаты точки .

Ответ: .

4. Итог урока

Итак, мы рассмотрели задачи на расстояние от точки до кривой. Можно находить само это расстояние, можно искать точки, которые обеспечивают минимум этого расстояния. Повторили, что такое расстояние между фигурами. Расстояние от точки до кривой – это наименьшее из расстояний, которое получается, когда точка на кривой пробегает все возможные значения. Например, точка  может пробегать все значения на кривой , но наименьшее расстояние будет тогда, когда точка  имеет координаты . Для этого нужно, во-первых, вспомнить, что такое расстояние, и во-вторых, каким образом ищется расстояние между точками, если известны координаты. И, наконец, надо записать квадрат расстояния и проанализировать полученную функцию. Если не удается это сделать элементарными средствами, с помощью свойств квадратичной функции, то надо использовать производную и искать наименьшее значение функции .

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 46.52 (а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)