Задача 1. Найти пределы изменения функции на данном отрезке.

1)

Рис. 3.

На заданном отрезке функция монотонно убывает, значит, наименьшее значение принимает на правом конце.

Ответ:

2)

Рис. 4.

Функция монотонно убывает.

Ответ:

3)

Рис. 5.

На данном промежутке функция немонотонна.

Ответ:

Монотонность функции означает, что не только каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, но и обратное – каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента.

Например:

Если единственное решение на промежутке

Если

Сколько решений имеет уравнение на промежутке Одно, также в силу монотонности.

Задача 2. Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение:

1)

2)

Решение:

1) Построим график функции (рис. 6).

Уравнение имеет хотя бы одно решение при

В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.

Ответ:

2) Решим другим способом, используя область значений функции

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

Решение:

Построим в одних координатных осях графики функций (рис. 7).

Графики имеют только одну общую точку

Решим уравнение еще одним способом.

Ответ:

Задача 4. Найти число корней уравнения

Решение (рис. 8).

На промежутке функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.

На промежутке функция убывает, функция возрастает, значит, и на этом промежутке графики также имеют только одну общую точку.

Ответ: Два корня.