Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=ctgt, её свойства и график
1. Определение котангенса
Зададим единственное число 
Каждому действительному числу 
соответствует единственная точка 
на числовой окружности (рис. 1). Точка 
имеет абсциссу и ординату, абсциссу называют косинусом числа 
ординату – синусом числа Отношение косинуса
к синусу называется котангенсом числа
Каждому допустимому значению соответствует единственная точка на окружности, единственная пара её координат, а значит и единственное значение дроби 
т.е. единственное значение котангенса
Таким образом, задаётся функция 
или 
Аргументом функции котангенс может быть число или угол 
. Вспомним связь между числовым и угловым аргументами.
Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна 
(рис. 2).
В окружности 
штук радиан.
Если 
то 
Если есть угол 
и окружность радиуса 1, то длина этой дуги или аргумент связаны с следующим образом:
2. Котангенс на числовой окружности
Как определить значения котангенса для конкретных значений числового или углового аргумента? Они расположены на линии котангенсов – касательной к окружности в точке B (рис. 3).
Возьмем аргумент или угол 
Аргументу или углу в радианах соответствуют синус и косинус. Рассмотрим 
3. График функции y=ctgt
Изобразим график функции 
в координатной плоскости. По формулам приведения 
Поэтому для построения графика функции 
достаточно график функции 
симметрично отобразить относительно оси х и сдвинуть вдоль оси х на 
влево (рис. 4).
4. Свойства функции y=ctgt
Исследуем график функции
1) Область определения: 
2) Область значений:
a) Каждому допустимому 
соответствует единственное значение
b) Любой 
достигается при одном либо нескольких значениях 
3) Функция нечетна:
График симметричен относительно начала координат.
4) Наименьший положительный период 
Значение периода котангенса 
также следует из формулы
при том, что нам известен период тангенса.
5) Точки пересечения с осью x: 
Точки пересечения с осью y отсутствуют (рис. 4).
6) Определим интервалы знакопостоянства (рис. 5):
7) Функция монотонно убывает на каждом из интервалов 
Покажем это:
Рассмотрим промежуток 
длиной в период. Функция монотонно убывает от 
до 
Действительно, если мы возьмем две точки из этого промежутка, такие, что 
то 
большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис. 6).
На каждом из отдельно взятых участков длиной в период функция также монотонно убывает.
8) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
5. Вывод, заключение
Мы изучили функцию 
её график и свойства. Все они будут использоваться в дальнейшем при решении различных задач, в том числе и при решении тригонометрических уравнений, к изучению которым мы приступим на следующем уроке.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 20.2, 20.3(б, г), 20.5, 20.19.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).
